ベクトル解析入門

ベクトル解析は、スカラー場とベクトル場を微分・積分する道具立てを整え、場の「変化・湧き出し・渦」を統一的に扱う数学である。電磁気学、流体力学、弾性体、拡散、量子力学の確率流など、多くの物理法則がベクトル解析の言葉で簡潔に表現される。

参考ドキュメント

1. 東北大学（電磁気学向け）「電磁気学で最低限必要なベクトル解析の知識」（PDF）
   https://www.ecei.tohoku.ac.jp/yamada/Lecture/yamada/Vector.pdf
2. 京都大学 講義ノート「物理学基礎論B（電磁気学）」内 ベクトル解析の節（PDF）
   https://www-cr.scphys.kyoto-u.ac.jp/member/tsuru/data/lecture/KisoronB_v2018_0.pdf
3. David Tong, Vector Calculus（講義ノート）
   https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/vc.html

1. ベクトルと場：スカラー場・ベクトル場の区別

ベクトルは大きさと向きをもつ量であり、3次元では

$$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$$

のように表す。

スカラー場は、空間の各点に実数を割り当てる関数である。

$$f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R},f(\mathbf{r})$$

温度、電位、濃度などが例である。

ベクトル場は、空間の各点にベクトルを割り当てる関数である。

$$\mathbf{F}:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3,\mathbf{F}(\mathbf{r})$$

速度場、電場、磁束密度などが例である。

場を扱うとき、座標系（デカルト、円柱、球）と基底ベクトル（単位ベクトル）の依存性が重要である。特に曲線座標では基底自体が位置に依存するため、微分演算子の形が変化する。

2. 内積・外積と幾何学的意味

2.1 内積（dot product）

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ であり、射影や仕事

$$W=\int \mathbf{F}\cdot d\mathit{\ell }$$

に現れる。

2.2 外積（cross product）

$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ は両者に垂直なベクトルで、大きさは平行四辺形の面積

$$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$$

である。向きは右手系で決まる。面の向き（法線）と境界の向き（周回方向）を対応させるときに本質的である。

3. 微分演算子 ∇ と三つの操作：grad・div・rot

ベクトル解析の中心は、演算子 $\mathrm{\nabla }$ である。デカルト座標では

$$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$$

と表される。

3.1 勾配（gradient）

スカラー場 $f(\mathbf{r})$ に対し $\mathrm{grad}f=\mathrm{\nabla }f$ である。デカルト座標では

$$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$$

となる。

勾配の意味は次である。

• 向き：$f$ が最も増加する方向
• 大きさ：その方向の増加率（単位長さあたりの変化）

方向微分（単位ベクトル $\mathbf{n}$ 方向の微分）は

$$\frac{\partial f}{\partial n}=\mathbf{n}\cdot \mathrm{\nabla }f$$

である。

3.2 発散（divergence）

ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対し $\mathrm{div}\mathbf{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}$ である。デカルト座標では

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$

となる。

発散の意味は「局所的な湧き出し（源）や吸い込み（吸い込み口）」である。流体速度場なら、密度一定の非圧縮流れで $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v}=0$ が成り立つ。

3.3 回転（curl, rot）

ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対し $\mathrm{rot}\mathbf{F}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}$ である。デカルト座標では

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})$$

回転の意味は「局所的な渦の強さと軸方向」である。流体なら渦度、電磁気なら渦の法則（ファラデーの法則など）に現れる。

4. 線積分・面積分・体積分：微小要素と向き

4.1 線積分

曲線 $C$ に沿う線素を $d\mathit{\ell }$ とすると、ベクトル場の線積分は

$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathit{\ell }$$

である。これは「曲線に沿った成分の積み重ね」であり、循環（circulation）としても解釈される。

4.2 面積分（フラックス）

向きを持つ面 $S$ の法線単位ベクトルを $\mathbf{n}$、面素を $dS$ とすると、フラックスは

$${\int }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$

である。これは「面を貫く流れの総量」を表す。

4.3 体積分

領域 $V$ 上での体積分は

$${\int }_{V}g(\mathbf{r})dV$$

である。発散定理により、体積分と面積分が結びつく。

5. 三つの積分定理

ベクトル解析の理解の核は、微分の情報と積分の情報が等価であることにある。

5.1 勾配定理（線積分の基本定理）

スカラー場 $f$ が十分滑らかで、曲線 $C$ が点 $A$ から点 $B$ を結ぶとき、

$${\int }_C\mathrm{\nabla }f\cdot d\mathit{\ell }=f(B)-f(A)$$

が成り立つ。

この関係から、渦なし（回転がゼロ）の場がポテンシャルで書けるという議論につながる。

5.2 ストークスの定理

向き付けられた面 $S$ と、その境界曲線 $\partial S$ の向きが右手則で整合するように選ばれているとき、

$${\int }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS={\oint }_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathit{\ell }$$

が成り立つ。

左辺は面内にある渦の総量、右辺は境界に沿った循環である。

5.3 発散定理（ガウスの定理）

閉曲面 $S=\partial V$ が体積 $V$ を囲むとき、

$${\int }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F})dV={\oint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$

が成り立つ。

左辺は体積内の湧き出しの総量、右辺は境界から外へ出るフラックスの総量である。

6. ポテンシャル場と保存場：rot=0 と div=0 の意味

6.1 保存場（回転がゼロ）

単連結領域で

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=\mathbf{0}$$

ならば、あるスカラー場 $\varphi$ が存在して $\mathbf{F}=\mathrm{\nabla }\varphi$ と書ける。物理では符号を変えて $\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }V$ の形が頻出する（電場と電位など）。

このとき、閉曲線積分はゼロである：

$$\oint \mathbf{F}\cdot d\mathit{\ell }=0$$

6.2 無発散場（湧き出しがゼロ）

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=0$$

ならば、閉曲面を通る総フラックスはゼロである：

$${\oint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS=0$$

磁束密度 $\mathbf{B}$ に対して $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$ が代表例である。

6.3 ヘルムホルツ分解

十分よい条件のもとで、ベクトル場は「勾配成分」と「回転成分」に分けられるという考え方がある。境界条件や減衰条件が必要であり、電磁気学や流体の解析の背後にある見通しを与える。

7. ラプラシアンと基本方程式

スカラー場に対し

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f)$$

をラプラシアンという。デカルト座標では

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$$

物理での基本形は次である。

• ラプラス方程式

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$$

（源がない領域のポテンシャル）

• ポアソン方程式

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=-\rho$$

（源密度 $\rho$ によるポテンシャル）

電磁気学では

$${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\rho /{\epsilon }_0$$

などが現れ、拡散や熱伝導では

$${\partial }_{t}u=D{\mathrm{\nabla }}^{2}u$$

が現れる。

8. 曲線座標系：円柱座標・球座標での公式

物理では対称性に応じて座標系を選ぶことが多い。曲線座標では、微小要素と演算子の形を正しく持つことが重要である。

8.1 円柱座標 $(r,\varphi ,z)$

位置：

$$x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi$$

微小線素：

$$d\mathit{\ell }={\mathbf{e}}_{r}dr+{\mathbf{e}}_{\varphi }rd\varphi +{\mathbf{e}}_{z}dz$$

体積要素：

$$dV=rdrd\varphi dz$$

勾配：

$$\mathrm{\nabla }f={\mathbf{e}}_r\frac{\partial f}{\partial r}+{\mathbf{e}}_{\varphi }\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi }+{\mathbf{e}}_z\frac{\partial f}{\partial z}$$

発散（$\mathbf{F}=F_r{\mathbf{e}}_r+F_{\varphi }{\mathbf{e}}_{\varphi }+F_z{\mathbf{e}}_z$）：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{F}_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$

回転：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}={\mathbf{e}}_r(\frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \varphi }-\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial z})+{\mathbf{e}}_{\varphi }(\frac{\partial F_r}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial r})+{\mathbf{e}}_z(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{F}_{\varphi })-\frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \varphi })$$

8.2 球座標 $(r,\theta ,\varphi )$

体積要素：

$$dV=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$$

勾配：

$$\mathrm{\nabla }f={\mathbf{e}}_r\frac{\partial f}{\partial r}+{\mathbf{e}}_{\theta }\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }+{\mathbf{e}}_{\varphi }\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }$$

発散：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2{F}_r)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta F_{\theta })+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }$$

回転は式が長くなるため、必要に応じて参照するのがよいが、要点は「スケール因子（$r$、$r\sin \theta$）が微分の前後に入る」という構造にある。

9. 直交曲線座標の一般形：スケール因子の考え方

直交曲線座標 $(u_1,u_2,u_3)$ で、線素が

$$d{s}^2=h_1^{2}d{u}_1^2+h_2^{2}d{u}_2^2+h_3^{2}d{u}_3^2$$

と書けるとき、$h_i$ をスケール因子という。

このとき、勾配は

$$\mathrm{\nabla }f=\sum _{i=1}^3{\mathbf{e}}_i\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}$$

となり、発散と回転も $h_1{h}_2{h}_3$ を伴って整理できる。

円柱座標では $(h_r,h_{\varphi },h_z)=(1,r,1)$、球座標では $(h_r,h_{\theta },h_{\varphi })=(1,r,r\sin \theta )$ である。公式を暗記するより、スケール因子の構造を理解すると再導出が可能になる。

10. ベクトル恒等式：計算を支える基本公式

微分演算子と積の法則から、多数の恒等式が得られる。物理で頻出するものをまとめる。

分類	恒等式	意味
回転と勾配	$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)=\mathbf{0}$	勾配場は渦を持たない
発散と回転	$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F})=0$	渦は源にならない
ラプラシアン	${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f)$	拡散・ポテンシャルの基本
積の発散	$\mathrm{\nabla }\cdot (f\mathbf{F})=\mathrm{\nabla }f\cdot \mathbf{F}+f\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}$	保存則の展開
積の回転	$\mathrm{\nabla }\times (f\mathbf{F})=\mathrm{\nabla }f\times \mathbf{F}+f\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}$	電磁気の変形
二重回転	$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F})-{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{F}$	波動方程式の導出に出る

これらは座標に依らない恒等式である。ただし実際の計算では、曲線座標の成分表示で誤りが出やすいので、可能なら座標非依存の形を保って変形し、最後に成分へ落とすのが整然としている。

11. grad・div・rot と積分定理

ここでは式の意味が見えるよう、短い計算例を示す。

11.1 勾配の例

$f(x,y,z)=x^{2}y+z$ とすると、

$$\mathrm{\nabla }f=(2xy,x^2,1)$$

である。ある点 $(x,y,z)$ において、$f$ が最も増える方向はこのベクトルの向きである。

11.2 発散の例（放射状の場）

$\mathbf{F}=\alpha (x,y,z)=\alpha \mathbf{r}$ （$\alpha$ は定数）とすると、

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\frac{\partial (\alpha x)}{\partial x}+\frac{\partial (\alpha y)}{\partial y}+\frac{\partial (\alpha z)}{\partial z}=3\alpha$$

である。どこでも一定の湧き出しを持つ場であるという解釈になる。

11.3 回転の例

$\mathbf{F}=(-y,x,0)$ とすると、

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=(0,0,\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y})=(0,0,2)$$

となり、$z$ 軸方向に一様な渦を持つ。

11.4 ストークスの定理の確認

上の $\mathbf{F}=(-y,x,0)$ を、$z=0$ 平面上の半径 $R$ の円周 $C$ で周回積分すると、

$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathit{\ell }$$

は円周に沿った循環の総量を与える。

一方で、面 $S$ をその円板とすると、

$${\int }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$

は渦度の面積積分であり、$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=(0,0,2)$ だから $2\times (\text{円板面積})$ となる。両者が一致することがストークスの定理の主張である。

12. 物理への接続：式がどのように現れるか

12.1 電磁気学（マクスウェル方程式の形）

電磁気学では、発散と回転がそのまま基本方程式になる。

• ガウスの法則（電場） $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\rho /{\epsilon }_0$

• ガウスの法則（磁場） $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$

• ファラデーの法則 $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

• アンペール‐マクスウェルの法則 $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

これらを積分形へ変換すると、面積分や線積分の形になり、ストークスの定理と発散定理が背後で働いている。

12.2 流体力学

速度場 $\mathbf{v}$ に対し、

• 連続の式（質量保存） $\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \mathbf{v})=0$

• 渦度 $\mathit{\omega }=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{v}$

が基本量になる。非圧縮の条件は $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v}=0$ である。

12.3 量子力学

波動関数 $\psi$ に対し、確率密度 $\rho =|\psi {|}^2$ と確率流 $\mathbf{j}$ は連続の式 ${\partial }_t\rho +\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{j}=0$ を満たす。ここでも発散が保存則の形を決める。

まとめと展望

ベクトル解析の初歩は、スカラー場とベクトル場を定義し、勾配 $\mathrm{\nabla }f$、発散 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}$、回転 $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}$ の意味を「局所的な変化・源・渦」として捉えることに尽きるのである。さらに、ストークスの定理と発散定理が、微分の情報と積分の情報を同一視し、場の方程式を局所形と大域形の双方で扱えるようにしている。

展望として、曲線座標とスケール因子の見通しが身につくと、対称性に応じた座標選択（球対称、円柱対称）で解析が大きく簡約される。加えて、ベリー曲率やゲージ場の議論、連続体の幾何学的表現、数値計算における離散微分形式などへ、ベクトル解析の考え方が自然に拡張されていくのである。

参考文献・資料

• MIT OpenCourseWare, 18.022 Calculus of Several Variables, Lecture: Div, grad, curl and all that（PDF）
  https://ocw.mit.edu/courses/18-022-calculus-of-several-variables-fall-2010/2811ddbe75dcb771e8ff4b7d4e62dcac_MIT18_022F10_l_18.pdf

• MIT（解説ページ）, Gradient, divergence, and curl
  https://www.mit.edu/~ashrstnv/grad-div-curl.html

• 東京大学 理学部 物理学科（関連）講義ノート例：物理数学III（PDF）
  https://cat.phys.s.u-tokyo.ac.jp/lecture/MP3_16/maph3.pdf