有限要素法（FEM）の原理

有限要素法は、連続体の境界値問題を弱形式（変分形式）へ変換し、基底関数で近似して疎な連立方程式として解く数値解法である。複雑形状、異方性、材料定数の空間不均一、界面条件を同一の枠組みで扱える方法である。

参考ドキュメント

• Brenner, S. C. and Scott, L. R., The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Springer) https://webs.um.es/eliseo/um/uploads/Main/Brenner_Scott_The_Mathematical_Theory_Of_Finite_Element Methods_2008.pdf
• COMSOL Documentation, Introduction to the Weak Form / Finite Element Method 解説 https://doc.comsol.com/6.2/docserver/https://www.comsol.com/multiphysics/finite-element-method
• （日本語）東京大学 OCW, 非線形有限要素法特論（弱形式と要素離散化の導入, PDF） https://ocw.u-tokyo.ac.jp/lecture_files/fs_01/1/notes/ja/01.PDF
• （日本語）桂田 祐史, 応用数値解析特論：有限要素法の理論的背景（PDF） https://m-katsurada.sakura.ne.jp/ana2022/ANA13_0116_handout.pdf

1. FEMが解く問題の典型

対象は、領域 $\Omega$ と境界 $\partial \Omega$ 上で定義される偏微分方程式（PDE）である。

代表例（スカラー場）

• ポアソン方程式：$-\mathrm{\nabla }\cdot (k\mathrm{\nabla }u)=f$
• 拡散（熱伝導・物質拡散）：${\partial }_{t}u-\mathrm{\nabla }\cdot (D\mathrm{\nabla }u)=s$
• 相場モデル（例）：Allen–Cahn、Cahn–Hilliard（高階微分を含む場合は混合形式が有効）

代表例（ベクトル場）

• 線形弾性：$-\mathrm{\nabla }\cdot \sigma (u)=b$、$\sigma =C:\epsilon (u)$
• 電磁場（静電・電流・準静的）：$\mathrm{\nabla }\cdot (\epsilon \mathrm{\nabla }V)=-\rho$、$\mathrm{\nabla }\times (\nu \mathrm{\nabla }\times A)=J$ など

2. 強形式から弱形式へ：重み付き残差と部分積分

FEMの中核は「微分方程式を積分方程式（弱形式）へ変換する」点にある。

2.1 例：ポアソン方程式

強形式（強い意味での微分を要求）
$-\mathrm{\nabla }\cdot (k\mathrm{\nabla }u)=f$ in $\Omega$、境界条件を適宜与える。

残差 $R(u)=-\mathrm{\nabla }\cdot (k\mathrm{\nabla }u)-f$ を試験関数 $v$ で重み付けして

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}R(u)vd\mathrm{\Omega }=0$$

を課し、部分積分（ガウスの発散定理）で微分階数を下げる：

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}k\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }vd\mathrm{\Omega }={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvd\mathrm{\Omega }+{\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}(k\mathrm{\nabla }u\cdot n)vd\mathrm{\Gamma }$$

ここで境界積分項は「自然境界条件（Neumann型）」として現れる。

2.2 抽象形

適切な関数空間 $V$（例：$H^1$）に対して

• 求める：$u\in V$
• 任意の：$v\in V_0$ について

$$a(u,v)=\ell (v)$$

を満たす、という形で書ける。これがRitz–Galerkinの基本形である。

3. 近似空間と基底関数：要素分割と形状関数

領域 Ω を要素（線分・三角形・四面体・四角形・六面体など）に分割し、一次（P1/Q1）や二次（P2/Q2）などの形状関数で場を近似する。

3.1 離散化（Galerkin近似）

有限次元空間 $V_h\subset V$ を選び、

$$u_h(x)=\sum _{j=1}^N{U}_j{\varphi }_j(x)$$

と表す。試験関数も同じ空間から選ぶ（Galerkin法）：

$$v_h(x)={\varphi }_i(x)$$

を代入して

$$\sum _{j=1}^N{U}_{j}a({\varphi }_j,{\varphi }_i)=\ell ({\varphi }_i)(i=1,\dots ,N)$$

が得られ、行列形式

$$KU=F$$

となる。

3.2 代表的行列（スカラー拡散・ポアソン）

剛性行列：

$$K_{ij}={\int }_{\mathrm{\Omega }}k\mathrm{\nabla }{\varphi }_j\cdot \mathrm{\nabla }{\varphi }_{i}d\mathrm{\Omega }$$

荷重ベクトル：

$$F_i={\int }_{\mathrm{\Omega }}f{\varphi }_{i}d\mathrm{\Omega }+{\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}\overline{q}{\varphi }_{i}d\mathrm{\Gamma }$$

3.3 要素の種類と連続性

形状	要素（例）	近似次数	連続性	主な用途の目安
三角形/四面体	P1, P2	1,2	C0	複雑形状に強い
四角形/六面体	Q1, Q2	1,2	C0	構造格子に近い形状で効率的
混合要素	Taylor–Hood等	変数で次数を変える	条件に依存	ほぼ非圧縮、鞍点問題など

4. 要素方程式とアセンブリ

FEMは「要素ごとの積分を計算し、足し合わせて全体行列を作る」方式である。

4.1 要素剛性の計算

要素 $e$ 上で

$$K_{ab}^{(e)}={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_e}k\mathrm{\nabla }{N}_b\cdot \mathrm{\nabla }{N}_{a}d\mathrm{\Omega }$$

を計算し、節点対応（connectivity）に従って大域行列 $K$ に加算する。

4.2 参照要素と写像

一般形状の要素積分は、参照座標 $\xi$ の要素へ写像して計算する。

• 物理座標 $x(\xi )$
• ヤコビアン $J=\partial x/\partial \xi$ により

$${\int }_{{\mathrm{\Omega }}_e}g(x)d\mathrm{\Omega }={\int }_{\hat{\mathrm{\Omega }}}g(x(\xi ))|J(\xi )|d\hat{\mathrm{\Omega }}$$

となる。

5. 数値積分（ガウス求積）

剛性や荷重の積分は一般に解析的に閉じないため、要素内でガウス求積を用いる。

• 一次要素で定数係数のポアソンなら少数点で正確に評価できる
• 係数が空間変化する、非線形項がある、異方性がある場合は求積点数が必要になる

求積が不足すると、行列が過度に硬くなる、あるいはエネルギーが正しく評価されないなどの誤差源になる。

6. 境界条件の取り扱い

6.1 Dirichlet境界（値固定）

$u=\overline{u}$ のような境界は、離散未知数に直接制約を課す必要がある（必須境界条件）。 典型手法

• 行列の行・列操作（強制代入）
• ペナルティ法（大きな係数で拘束）
• ラグランジュ未定乗数（混合形式、鞍点問題）

6.2 Neumann境界（フラックス固定）

$(k\mathrm{\nabla }u\cdot n)=\overline{q}$ のような条件は、弱形式に境界積分として自然に入る（自然境界条件）。

6.3 周期境界（PBC）

対向境界の自由度を同一視し、拘束条件として結合する。界面や格子周期を持つ問題で頻出である。

7. 時間発展問題：質量行列と半離散化

例えば拡散方程式をFEM空間で離散化すると

$$M\dot{U}+KU=F$$

が得られる。ここで

• 質量行列：$M_{ij}={\int }_{\mathrm{\Omega }}{\varphi }_j{\varphi }_{i}d\mathrm{\Omega }$
• 剛性行列：$K_{ij}={\int }_{\mathrm{\Omega }}D\mathrm{\nabla }{\varphi }_j\cdot \mathrm{\nabla }{\varphi }_{i}d\mathrm{\Omega }$ である。

時間積分の代表

• 陽解法：明快だが安定条件で $\mathrm{\Delta }t$ が制限されやすい
• 陰解法（後退Euler、Crank–Nicolsonなど）：硬い拡散系でも安定に進めやすい
• 構造動力学：Newmark法、一般化α法など（質量・減衰・剛性の組）

質量行列を対角近似（mass lumping）する設計もあり、陽解法の効率化に使われる。

8. 線形・非線形ソルバ：疎行列

FEMの離散系は大規模疎行列になりやすい。

8.1 線形問題

• 直接法：LU/Cholesky（規模が大きいとメモリが支配）
• 反復法：CG（対称正定値）、GMRES（一般）など
• 前処理：ILU、IC、多重格子（MG）、領域分割（DD）など

8.2 非線形問題

材料非線形、幾何非線形、相場の非線形項などでは

$$R(U)=0$$

をNewton法などで解く。

$$J(U^{(m)})\delta U=-R(U^{(m)}),U^{(m+1)}=U^{(m)}+\delta U$$

ここでヤコビアン $J=\partial R/\partial U$ は、解析導出か自動微分・数値近似で与える。

9. 誤差評価とメッシュ適応

FEMの精度は、要素サイズ $h$ と次数 $p$ に依存する。

• 典型的な楕円型問題で、十分滑らかな解に対して $H^1$ ノルム誤差が $O(h^p)$ 程度で減少する（空間次数に依存）
• 特異点（角、き裂端、界面、強い不均一）では局所的に誤差が支配的となる

誤差推定

• 事前（a priori）：理論解の滑らかさを仮定して収束次数を評価する
• 事後（a posteriori）：残差や勾配跳躍などから局所誤差を推定し、メッシュを自動細分化する

h-adapt（要素細分化）とp-adapt（次数変更）を組み合わせるhp-adaptもある。

10. 代表方程式ごとの弱形式

分野の代表方程式	弱形式で現れやすい構造	FEMでの注意点
拡散・熱	$M\dot{U}+KU=F$	拡散支配の硬さ、時間離散の選択
線形弾性	$K=\int B^{T}CBd\mathrm{\Omega }$	ほぼ非圧縮でロッキング、要素選択
ポアソン/静電	$\int \epsilon \mathrm{\nabla }V\cdot \mathrm{\nabla }v$	異方性・界面条件、PBC
Maxwell（渦あり）	curl-curl形式	辺要素（Nédélec）などの適合空間が重要
相場（Cahn–Hilliard等）	高階微分→混合形式	変数分割、安定化、時間刻み

11. 注意点

• メッシュ品質：アスペクト比や歪みで条件数が悪化し、反復法が停滞する
• ロッキング：ほぼ非圧縮、薄板・シェル、曲げ支配で不自然に硬くなる
• 不適切な関数空間：鞍点問題で不安定（LBB条件を満たさない）
• 求積不足：非線形・異方性・高次で誤差や不安定化を誘発する
• 境界条件の実装誤り：Dirichlet拘束の入れ方で解が変わる

まとめ

• 有限要素法は、弱形式化と基底関数近似により、PDEを疎な連立方程式（またはDAE/ODE系）として解く方法である。
• 形状関数・写像・求積・境界条件・疎行列ソルバ・誤差推定（適応化）の組が数値解の信頼性と計算効率を決める要点である。