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フェーズフィールド法の数値解法 ​

フェーズフィールド方程式は、自由エネルギー汎関数の勾配流として構造が決まるため、数値解法にも保存則と散逸則を反映させることが重要である。離散化の選択は、界面幅の解像、非線形性、連成場、計算資源の制約により支配される。

参考ドキュメント ​

  1. Phase-Field Recommended Practices Guide: Numerical Implementation（NIST） https://pages.nist.gov/pf-recommended-practices/bp-guide-gh/ch2-numerical-implementation.html
  2. L. Q. Chen, Applications of semi-implicit Fourier-spectral method to phase-field equations, Computer Physics Communications (1998) https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S001046559700115X
  3. 名古屋大学 PFM 講義ノート：第11章 Phase-field法1（凝固） https://www.material.nagoya-u.ac.jp/PFM/docs/Lecture_H20/H20_Chapter_11.pdf

1. 支配方程式 ​

代表例は、非保存のAllen–Cahn（AC）型と、保存量を扱うCahn–Hilliard（CH）型である。

  • AC（反応拡散型）∂η∂t=−LδFδη
  • CH（4階拡散型）∂c∂t=∇⋅(M∇μ), μ=δFδc

数値的な要点は次の通りである。

  • CHは空間4階（または2階×2の分割形）であり、陽的時間積分は安定条件が非常に厳しい
  • 非線形自由エネルギー（多井戸、対数項、CALPHAD等）により剛性が増す
  • 連成（熱・弾性・流体など）では未知数が増え、単純な解法では収束が不安定になりやすい
  • 正しい解に見えても、質量保存や自由エネルギー減少が壊れると物理的解釈が崩れる

2. 無次元化とメッシュ設計 ​

2.1 界面幅と格子幅 ​

界面を有限幅として表すため、界面幅Wを十分に解像する必要がある。目安として界面に対して数点では不十分であり、界面が滑らかに表現される格子幅Δxを選ぶ。

2.2 代表的な時間スケール ​

  • 拡散支配（CH）では、Δx が半分になると必要なΔtが急激に小さくなる傾向がある
  • 界面移動支配（AC）でも Δt は Δx に強く依存する

このため、計算領域と解像度を先に固定し、時間積分は半陰・陰を基本に設計するのが定石である。

3. 空間離散化：FDM/FVM/FEM/FFTの使い分け ​

3.1 有限差分法（FDM） ​

直交格子で最も簡潔に実装できる。ラプラシアンは例えば2次精度で

∇2u≈∑α=x,y,zu(r+Δα)−2u(r)+u(r−Δα)Δα2

となる。CHの4階項は、二重ラプラシアン（∇4∼∇2(∇2)）として組むか、後述の分割形で扱う。

3.2 有限体積法（FVM） ​

保存形（∂tc+∇⋅J=0）との相性が良い。CHをフラックス形式で書けば質量保存を数値的に担保しやすい。

3.3 有限要素法（FEM） ​

複雑形状や弾性・熱との連成に強い。一方、CHの4階をそのまま弱形式化するとC1連続要素が必要になりがちであり、実装上は「2階×2」への分割がよく用いられる。

CHの分割形（混合形式）の例：

μ=∂f∂c−κ∇2c,∂c∂t=∇⋅(M∇μ)

未知数を(c,μ)に増やす代わりに、各式は2階となり標準的なC0要素で扱える。

3.4 スペクトル法（FFT） ​

周期境界条件が自然な相分離・粗大化問題で強力である。空間微分がフーリエ空間で代数演算になるため、半陰解法と組み合わせて高速に計算できる。非線形項は実空間で評価し、FFTで往復する実装が一般的である。

4. 時間積分：陽・半陰・陰、そしてエネルギー安定化 ​

4.1 陽解法（推奨されにくい理由） ​

陽解法は実装は容易だが、CHでは安定条件が厳しすぎて現実的な計算が困難になりやすい。小さなΔtが必要となり、計算時間が大幅に増える。

4.2 半陰解法（IMEX）という基本戦略 ​

線形で剛な項を陰的に、非線形項を陽的に扱う。 例（概念）：

cn+1−cnΔt=∇⋅(M∇μn+1),μn+1=−κ∇2cn+1⏟陰的+∂f∂c|cn⏟陽的

FFTならk空間で線形問題を直接解け、FEM/FDMなら線形ソルバが必要になる。

4.3 エネルギー安定（離散散逸）を満たす設計 ​

フェーズフィールドは連続系で自由エネルギーFが単調減少する構造を持つため、離散化でも

  • Fn+1≤Fn（少なくとも数値的に破れにくい）
  • CHでは∫cdVが保存 を満たすことが望ましい。

代表的な考え方：

  • 凸分割（convex splitting） 自由エネルギーを凸部と凹部に分け、凸部を陰的、凹部を陽的に扱うことで無条件エネルギー安定を狙う。
  • 安定化付き半陰解法（stabilized semi-implicit） 非線形の外挿に安定化項（線形）を足し、エネルギー安定を担保する設計がある。
  • SAV/IEQ系（補助変数法） 非線形自由エネルギーを補助変数で扱い、線形問題として解きつつエネルギー安定を得る設計がある。

5. 非線形・線形ソルバ：収束性は前処理で決まる ​

5.1 単一方程式（ACなど） ​

  • 陰解法ではNewton法（または準Newton）＋Krylov法が基本である
  • 収束が悪い場合、時間刻みを下げるより前処理・スケーリングの見直しが効くことが多い

5.2 CH（混合形式）のブロック構造 ​

未知(c,μ)の連立はブロック構造を持つ。ブロック前処理（Schur補完近似など）やマルチグリッドが有効になりやすい。

5.3 マルチグリッドとAMR（適応メッシュ） ​

界面近傍だけ細かくしたい問題では、適応メッシュ（AMR）が計算量を劇的に下げうる。ただし、CHの質量保存はメッシュ更新・補間で壊れやすいため、保存性を意識した転送が必要である。

6. 境界条件：モデルと離散の両方で整合させる ​

頻出の選択肢は以下である。

  • 周期境界：FFTと相性が良い
  • Neumann（勾配ゼロ）：
    • CHでは無流束条件 n⋅∇μ=0 が質量保存に直結する
    • 追加で n⋅∇c=0 を課す設計もある
  • Dirichlet：濃度や秩序変数を固定するが、保存則との整合に注意する

境界条件は「連続系として妥当」でも「離散で破れる」ことがあり、保存量とエネルギーのモニタリングが必須である。

7. 連成問題の時間発展：モノリシックか分割か ​

熱・弾性・流体などと連成する場合、代表的に2方式がある。

  • モノリシック（全未知を同時に解く） 収束が良く、強連成に向くが、実装と前処理が重い。
  • 分割（staggered） 実装しやすいが、連成が強いと不安定化しやすい。必要なら反復（Picard反復など）で補う。

8. 検証と比較 ​

モデルが正しく実装されたことの確認には、以下が有効である。

  • MMS（Method of Manufactured Solutions）で収束次数を確認する
  • 公開ベンチマークで、形態・統計量・計算性能を比較する
  • 物理指標として、質量保存誤差、自由エネルギーの単調性、代表長さスケーリング（粗大化則）などを定義して点検する

9. 代表的なフレームワーク ​

  • 一般に、FEM系は陰的時間積分＋Newton-Krylov＋PETSc等の線形ソルバで頑健性を確保する設計が多い。
  • FFT系は半陰解法と組み合わせ、線形ソルバ無しで高速化する設計が多い。
  • いずれも、数値の安定化は「モデルの物理」と「離散の構造（保存・散逸）」の両方から評価する必要がある。

まとめ ​

フェーズフィールド法の数値解法は、空間離散（FDM/FVM/FEM/FFT）と時間積分（半陰・陰）を基礎に、保存則とエネルギー散逸を離散化でも壊しにくい設計へ寄せることが要点である。特にCahn–Hilliard型では、混合形式やエネルギー安定化（凸分割、安定化付き半陰、補助変数法）と、前処理・マルチグリッドの選択が計算の成立性を決める。

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