ダイソン方程式と多体電子状態の記述

ダイソン方程式は、相互作用を含む量子多体系のグリーン関数を、自由系の伝播と自己エネルギーへ分解して記述する枠組みである。電子構造・分光・輸送・応答の多くは、一次（1粒子）グリーン関数と、その拡張としての2粒子グリーン関数から統一的に議論できる。

参考ドキュメント

• F. J. Dyson, The S Matrix in Quantum Electrodynamics, Physical Review 75, 1736 (1949) https://doi.org/10.1103/PhysRev.75.1736
• L. Hedin, New Method for Calculating the One-Particle Green's Function with Application to the Electron-Gas Problem, Physical Review 139, A796 (1965) https://doi.org/10.1103/PhysRev.139.A796
• 東京大学 物性研究所, Korringa–Kohn–Rostoker Method（KKRグリーン関数法のノート, PDF） https://kkr.issp.u-tokyo.ac.jp/document/kkrnote.pdf

1. グリーン関数とは

グリーン関数は「ある自由度が、時空間的にどのように伝わるか」を定量化する道具である。固体中の電子を例にすると、結晶周期性や複数軌道、スピン、さらに電子相関・無秩序・界面・欠陥などにより、単純な一電子像からのずれが生じる。このずれを、エネルギー依存の複素量として集約したものが自己エネルギーであり、ダイソン方程式はその集約を数式として確立する。

グリーン関数の利点は、(i) スペクトル（準粒子と寿命）を与える、(ii) 応答関数（線形応答）を与える、(iii) 摂動論・近似理論を体系化する、の3点に要約できる。これらは、角度分解光電子分光、光学応答、電気伝導・熱伝導、スピン・電荷の揺らぎ、電子相関系の相転移などの議論に直結する。

2. 1粒子グリーン関数の基本定義

2.1 場の演算子と時間順序

電子の場の演算子を $\hat{\psi }(\mathbf{r},t)$、その随伴を ${\hat{\psi }}^{†}(\mathbf{r},t)$ とする。ハイゼンベルク描像でのフェルミオン（1粒子）時間順序グリーン関数は

$$G(1,2)=-i⟨T\hat{\psi }(1){\hat{\psi }}^{†}(2)⟩$$

で定義される。ここで $1\equiv ({\mathbf{r}}_1,t_1)$、$2\equiv ({\mathbf{r}}_2,t_2)$、$T$ は時間順序演算子であり、期待値は（一般には）熱平衡密度行列に対する平均である。

実時間形式では、因果性を明示する遅延（retarded）グリーン関数

$$G^R(1,2)=-i\theta (t_1-t_2)⟨\{\hat{\psi }(1),{\hat{\psi }}^{†}(2)\}⟩$$

が重要である。分光や散乱率と直接結びつくのは基本的に $G^R$ である。

2.2 松原（虚時間）グリーン関数

有限温度では虚時間 $\tau \in [0,\beta )$（$\beta =1/k_{B}T$）を用い、

$$G({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2;\tau )=-⟨T_{\tau }\hat{\psi }({\mathbf{r}}_1,\tau ){\hat{\psi }}^{†}({\mathbf{r}}_2,0)⟩$$

を定義する。フェルミオンの周波数は松原周波数

$${\omega }_n=(2n+1)\pi /\beta$$

で離散化される。多体摂動論や数値計算（特に有限温度）では、まず松原形式で計算し、その後に解析接続で実周波数へ移す流れが多い。

2.3 よく用いるグリーン関数の比較

種類	記号	定義の中心	周波数変数	主な用途
時間順序	$G$	$-i⟨T\psi {\psi }^{†}⟩$	実周波数（時間）	摂動展開・ダイアグラム
遅延	$G^R$	$-i\theta (t)⟨\{\cdot ,\cdot \}⟩$	$\omega +i{0}^{+}$	スペクトル・寿命・分光
先進	$G^A$	$+i\theta (-t)⟨\{\cdot ,\cdot \}⟩$	$\omega -i{0}^{+}$	数学的整合・応答
松原	$G(i{\omega }_n)$	$-⟨T_{\tau }\cdot ⟩$	離散 $i{\omega }_n$	有限温度・数値計算
lesser/greater	$G^{</>}$	非平衡の占有を含む	実周波数	非平衡輸送・緩和

3. 自由系グリーン関数 $G_0$

3.1 自由ハミルトニアンと基底

自由（非相互作用）系を

$${\hat{H}}_0=\sum _{\alpha \beta }{\hat{c}}_{\alpha }^{†}{h}_{\alpha \beta }{\hat{c}}_{\beta }$$

と書く（$\alpha ,\beta$ は運動量・軌道・スピン等をまとめた添字である）。このとき、自由グリーン関数 $G_0$ は演算子の運動方程式（EOM）から求まる。

3.2 周波数表示の形

並進対称な単一バンド（化学ポテンシャル $\mu$ を含める）では

$$G_0(\mathbf{k},\omega )=\frac{1}{\omega +\mu -{\epsilon }_{\mathbf{k}}+i{0}^{+}\mathrm{sgn}(\omega -\mu )}$$

の形を持つ（厳密には $G_0^R$ と $G_0^A$ を区別する）。松原形式では

$$G_0(\mathbf{k},i{\omega }_n)=\frac{1}{i{\omega }_n+\mu -{\epsilon }_{\mathbf{k}}}$$

と簡潔である。

この段階ではスペクトルは $\omega ={\epsilon }_{\mathbf{k}}-\mu$ の鋭いデルタ構造であり、寿命は無限大である。実材料の広がりやサテライト、擬ギャップ、強い質量増大などは、以後に導入する自己エネルギーが担う。

4. 相互作用の導入と摂動展開

4.1 相互作用描像と展開

全ハミルトニアンを

$$\hat{H}={\hat{H}}_0+\hat{V}$$

と分ける。相互作用描像では、時間発展は

$$\hat{S}=T\exp (-i\int dt{\hat{V}}_I(t))$$

で与えられ、期待値は $\hat{S}$ を用いて整理される。ウィックの定理を用いると、相互作用の摂動展開は自由系の収縮（すなわち $G_0$）の組み合わせに還元され、各次数がダイアグラムとして体系化される。

4.2 等比級数の再和と「既約」概念

1粒子グリーン関数の摂動展開をダイアグラムで眺めると、同じ部分構造が繰り返し現れる。繰り返しを最小単位（1粒子既約：1粒子線を1本切って分離できない）にまとめたものが自己エネルギー $\mathrm{\Sigma }$ である。

その結果、完全グリーン関数 $G$ は

$$G=G_0+G_0\mathrm{\Sigma }{G}_0+G_0\mathrm{\Sigma }{G}_0\mathrm{\Sigma }{G}_0+\cdots$$

という構造を持つ。これは $G_0\mathrm{\Sigma }$ を公比とする等比級数であり、形式的に再和するとダイソン方程式へ至る。

5. ダイソン方程式の導出

5.1 積分方程式（時空間表示）

等比級数の再和を積分表示で書くと

$$G(1,2)=G_0(1,2)+\int d3d4G_0(1,3)\mathrm{\Sigma }(3,4)G(4,2)$$

となる。ここで $d3$ は空間・時間（あるいは虚時間）積分を表す。$\mathrm{\Sigma }(3,4)$ は一般に非局在かつ時間非局所（周波数依存）であり、材料の多体効果が詰まった核である。

5.2 逆演算子形式

畳み込み積分を演算子積とみなすと

$$G=G_0+G_0\mathrm{\Sigma }G$$

であり、両辺に $G_0^{-1}$ を作用させて

$$G^{-1}=G_0^{-1}-\mathrm{\Sigma }$$

を得る。これはダイソン方程式の最もコンパクトな形である。多軌道・スピンを含む場合、$G$ と $\mathrm{\Sigma }$ は行列であり、逆行列として理解する。

5.3 運動量・周波数表示

並進対称系では

$$G(\mathbf{k},\omega )=\frac{1}{\omega +\mu -{\epsilon }_{\mathbf{k}}-\mathrm{\Sigma }(\mathbf{k},\omega )}$$

となる（$G^R$ なら $\omega \to \omega +i{0}^{+}$ を含む）。この式は、バンド分散が相互作用でずれる、寿命が有限になる、強相関で複数極が現れる、といった現象を一つの分母へ集約している。

6. 自己エネルギーの物理的意味

6.1 エネルギーシフトと散乱率

遅延自己エネルギーを

$${\mathrm{\Sigma }}^R(\mathbf{k},\omega )=\mathrm{Re}{\mathrm{\Sigma }}^R(\mathbf{k},\omega )+i\mathrm{Im}{\mathrm{\Sigma }}^R(\mathbf{k},\omega )$$

と分けると、実部は準粒子エネルギーのずれ（分散の再正規化）を与え、虚部は寿命（散乱率）を与える。因果性からフェルミオンでは通常

$$\mathrm{Im}{\mathrm{\Sigma }}^R(\mathbf{k},\omega )\le 0$$

が要請される。

6.2 準粒子とスペクトルの幅

準粒子方程式を

$$\omega +\mu -{\epsilon }_{\mathbf{k}}-\mathrm{Re}{\mathrm{\Sigma }}^R(\mathbf{k},\omega )=0$$

で定義すると、その解 $\omega ={\epsilon }_{\mathbf{k}}^{\ast }$ の近傍で

$$G^R(\mathbf{k},\omega )\approx \frac{Z_{\mathbf{k}}}{\omega -{\epsilon }_{\mathbf{k}}^{\ast }+i{\mathrm{\Gamma }}_{\mathbf{k}}}$$

の形が得られる（十分鋭い準粒子が成立する範囲）。ここで

$$Z_{\mathbf{k}}={[1-\frac{\partial \mathrm{Re}{\mathrm{\Sigma }}^R(\mathbf{k},\omega )}{\partial \omega }{|}_{\omega ={\epsilon }_{\mathbf{k}}^{\ast }}]}^{-1},{\mathrm{\Gamma }}_{\mathbf{k}}=-Z_{\mathbf{k}}\mathrm{Im}{\mathrm{\Sigma }}^R(\mathbf{k},{\epsilon }_{\mathbf{k}}^{\ast })$$

である。$Z_{\mathbf{k}}$ はコヒーレント成分の重みであり、強相関で小さくなり得る。

6.3 クラマース・クローニッヒ関係

$G^R$ や ${\mathrm{\Sigma }}^R$ は解析関数としての制約を受け、実部と虚部はクラマース・クローニッヒ関係で結びつく。したがって「寿命が短い」ことは、同時に「分散の形が変形する」ことを必然的に伴う。分光データの解釈やモデル化では、この整合性が重要である。

7. スペクトル関数と観測量への接続

7.1 スペクトル関数

遅延グリーン関数からスペクトル関数

$$A(\mathbf{k},\omega )=-\frac{1}{\pi }\mathrm{Im}{G}^R(\mathbf{k},\omega )$$

を定義する。$A$ は状態のエネルギー分布を表し、準粒子が鋭ければローレンツ型のピークになる。一般にはサテライトや連続成分を含み、強相関・プラズモン・電子-フォノン結合などの情報が現れる。

和則として

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d\omega A(\mathbf{k},\omega )=1$$

が成立する（単純化した1粒子の規格化に相当する）。

7.2 DOS と局所量

状態密度は

$$N(\omega )=\sum _{\mathbf{k}}A(\mathbf{k},\omega )$$

で与えられる。複数軌道系では軌道射影DOSやサイト射影DOSは、グリーン関数の対角成分や射影演算子で表現できる。

7.3 観測量との対応の表

観測量	主要な理論量	関係の基本形
角度分解光電子分光	$A(\mathbf{k},\omega )$	強度 $\propto A(\mathbf{k},\omega )f(\omega )$（行列要素を除く）
逆光電子・電子付加	$A(\mathbf{k},\omega )$	占有の補完として $1-f(\omega )$ が現れる
光学応答・伝導	電流相関（2粒子）	久保公式で $⟨JJ⟩$ を評価
磁化率・電荷感受率	動的感受率 $\chi$	2粒子グリーン関数（頂点補正が重要）
不純物・欠陥の局所状態	局所 $G(\mathbf{r},\mathbf{r};\omega )$	$N(\mathbf{r},\omega )=-{\pi }^{-1}\mathrm{Im}{G}^R(\mathbf{r},\mathbf{r};\omega )$

8. 2粒子グリーン関数とベーテ・サルペーター型方程式

1粒子のダイソン方程式に対応して、2粒子（応答）ではベーテ・サルペーター方程式（BSE）が現れる。たとえば動的感受率 $\chi$ は、裸のバブル ${\chi }_0$ と既約頂点 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{irr}}$ を用いて

$$\chi ={\chi }_0+{\chi }_0{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{irr}}\chi$$

の形を持つ。RPAは頂点を単純化して和を取る近似であり、集団励起（プラズモン、スピン波など）の基本像を与える。一方で強相関や局所相互作用が強い場合、頂点補正が定量性を支配する。

9. 電子構造法・多体近似における位置づけ

9.1 GW近似（自己エネルギーの近似として）

ダイソン方程式は恒等式であり、近似は自己エネルギー $\mathrm{\Sigma }$ の評価に現れる。Hedin により、$\mathrm{\Sigma }$、遮蔽相互作用 $W$、分極 $P$、頂点 $\mathrm{\Gamma }$ を結ぶ自己無撞着方程式群（Hedin方程式）が導出され、GW近似はその第一段として

$$\mathrm{\Sigma }\approx iGW$$

と置くものである。バンドギャップや準粒子エネルギーの改善に広く用いられる。

9.2 DMFT（局所自己エネルギー）

強相関系では、運動量依存を捨てて周波数依存を保持する局所自己エネルギー

$$\mathrm{\Sigma }(\mathbf{k},\omega )\approx {\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{loc}}(\omega )$$

が有効な場合がある。DMFTは格子模型を単一サイト（量子不純物）問題へ写像し、自己無撞着条件で浴（ハイブリダイゼーション）を決める。これによりモット転移や巨大質量増大など、バンド理論だけでは表しにくい現象を扱う。

9.3 KKRグリーン関数法と埋め込み（Dysonの幾何学的応用）

グリーン関数法の電子構造（多重散乱）では、参照系のグリーン関数 $G^{\mathrm{ref}}$ に対し、ポテンシャル差 $\mathrm{\Delta }V$ を用いて

$$G=G^{\mathrm{ref}}+G^{\mathrm{ref}}\mathrm{\Delta }VG$$

の形で「局所改変（欠陥、界面、クラスター）」を取り込む。これは自己エネルギーという多体起源とは別の意味での「Dyson型方程式」であり、同じ代数構造が埋め込み・散乱理論に現れる例である。無秩序・合金・欠陥の局所状態や散乱の扱いで重要である。

9.4 近似の比較

近似・枠組み	自己エネルギー（または核）	得意な物理	注意すべき点
摂動論（低次）	特定次数の $\mathrm{\Sigma }$	弱結合の補正	高次の寄与の取り込みが不足し得る
GW	$\mathrm{\Sigma }\approx iGW$	準粒子エネルギー、遮蔽	頂点補正の扱いによって差が出る
DFT+DMFT	局所 ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{loc}}(\omega )$	強相関、モット、温度依存	二重計数や局在空間の定義が効く
T行列・CPA 等	散乱の再和	不純物・無秩序	多体相関の扱いは別途必要
BSE（2粒子）	頂点 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{irr}}$	励起子、光学応答	基底の取り方・近似の選択が重要

10. 計算・解析で意識すべき整合性

10.1 因果性と分光の整合

$G^R$ と ${\mathrm{\Sigma }}^R$ は因果性を満たす必要がある。数値的に得た $G(i{\omega }_n)$ を実周波数へ移す際、解析接続の不安定性がスペクトルの偽ピークを生み得る。これは「データが有限である」ことに由来するため、和則（$\int A=1$）や $\mathrm{Im}{\mathrm{\Sigma }}^R\le 0$ の確認が整合性の指標となる。

10.2 実周波数と虚周波数の使い分け

虚周波数は収束性が良い一方、実周波数の微細構造（サテライト、狭いギャップ近傍など）を直接見ない。実周波数で直接解く方法と、虚周波数から移す方法はそれぞれ利点があり、対象（温度、散乱の強さ、必要な分解能）に応じて選ぶことになる。

10.3 行列構造（多軌道・スピン・超伝導）

現実の材料では $G$ は行列となる。多軌道系では

$${\mathbf{G}}^{-1}(\mathbf{k},\omega )={\mathbf{G}}_0^{-1}(\mathbf{k},\omega )-\mathbf{\Sigma }(\mathbf{k},\omega )$$

であり、固有値問題ではなく「逆行列のゼロ点」を探す形になる。スピン軌道相互作用や非共線磁性では、スピン空間の混合が入り、対角化と解釈の順序が重要になる。超伝導ではナンブ空間（粒子・穴）へ拡張し、異常グリーン関数を含む行列ダイソン方程式として扱う。

11. ダイソン方程式から物性へ至る基本の流れ（概念）

1. 有効一電子ハミルトニアン（または参照系）から $G_0$ を定める。結晶では $\mathbf{k}$ 表示、欠陥・界面では実空間表示が自然である。
2. 相互作用や散乱に基づき $\mathrm{\Sigma }$（あるいは埋め込み核）を近似して与える。
3. ダイソン方程式 $G^{-1}=G_0^{-1}-\mathrm{\Sigma }$ を解いて $G$ を得る。
4. $A(\mathbf{k},\omega )$、DOS、局所DOS、準粒子分散、寿命などを $G$ から計算する。
5. 応答は2粒子量（$\chi$ や電流相関）へ進み、必要なら頂点補正を含む方程式を解く。

この見取り図により、電子相関・無秩序・界面・励起の多様な題材が、同じ数式構造の上に整理される。

まとめ

ダイソン方程式は、完全グリーン関数を自由グリーン関数と自己エネルギーに分解し、相互作用の効果を一つの核へ集約する恒等式である。自己エネルギーの実部と虚部はスペクトルの位置と幅を支配し、スペクトル関数やDOS、さらに応答関数の議論へ直結する。GWやDMFT、グリーン関数法の電子構造、BSEなどの多様な理論は、どの核をどの近似で与えるかという差として整理でき、材料の電子状態・分光・輸送・揺らぎを統一的に扱う基盤となる。

関連研究

• F. J. Dyson, The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman, Physical Review 75, 486 (1949) https://doi.org/10.1103/PhysRev.75.486
• A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, M. J. Rozenberg, Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions, Rev. Mod. Phys. 68, 13 (1996) https://doi.org/10.1103/RevModPhys.68.13
• G. Kotliar et al., Electronic structure calculations with dynamical mean-field theory, Rev. Mod. Phys. 78, 865 (2006) https://doi.org/10.1103/RevModPhys.78.865
• F. Aryasetiawan and O. Gunnarsson, The GW method, Rep. Prog. Phys. 61, 237 (1998)（arXiv版） https://arxiv.org/abs/cond-mat/9712013
• D. Golze, M. Dvorak, P. Rinke, The GW Compendium: A Practical Guide to Theoretical Photoemission Spectroscopy, Frontiers in Chemistry 7, 377 (2019) https://doi.org/10.3389/fchem.2019.00377
• 京都大学リポジトリ: 多体効果の最前線（2粒子グリーン関数とBSEの講義ノート, PDF） https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/bitstream/2433/225166/1/bussei_el_061205.pdf
• 北海道大学 木田研究室: 量子輸送方程式と非平衡エントロピー（Dyson方程式への言及を含む, PDF） https://phys.sci.hokudai.ac.jp/~kita/QTEver3.pdf