磁気ダンピングの内因的起源

磁気ダンピング定数（ギルバート定数）αは、磁化歳差運動のエネルギーと角運動量が不可逆に失われる速さを表す量である。SOC（スピン軌道相互作用）を介した電子励起（電子・正孔対など）に基づく内因性機構を主流の参照原理としつつも、それ以外の自由度（格子振動、マグノン間相互作用、空間非一様磁化が作る内部スピン流、温度ゆらぎ）からも内因性散逸は定式化できる。

参考ドキュメント

1. 竹内健太, スピントロニクス理論ノート（LLG、ダンピングの基礎を含む）, 日本語
   https://www.sk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?SpintronicsTheory
2. 東北大学 学位論文・資料（磁気緩和・緩和現象に関する理論的整理を含む）, 日本語
   http://hdl.handle.net/10097/38690
3. Simon Streib, Hedyeh Keshtgar, Gerrit E. W. Bauer, Damping of magnetization dynamics by phonon pumping, arXiv:1804.07080, 英語
   https://arxiv.org/abs/1804.07080

0. はじめに

本稿の目的は、内因性磁気ダンピングのうち「SOCを介した電子励起（いわゆるトルク相関型・Kamberský型の電子散乱描像）」とは異なる寄与を、理論式の形が見えるレベルで整理することである。ここで「内因性」は、界面スピンポンピング、渦電流、粗さ・欠陥に由来する不均一広がり（静的分布）などの試料依存の外因的寄与と区別し、十分理想化した結晶・連続体モデルでも残る散逸経路を指す。

ただし重要な注意として、固体中でスピン角運動量が最終的に格子へ移るためには、広い意味で相対論的結合（SOCを含む）や結晶場・スピン格子結合が背景にある場合が多い。ここでは「電子励起スペクトル（e–h対やバンド間遷移）を主役に置く機構を除き、マグノンやフォノンなど別の励起を主役に置く機構」を中心に論じる。

1. LLGとαの観測量

1.1 LLG方程式

単位磁化ベクトルを $m=M/M_s$ とすると、LLGは

$$\frac{d\mathbf{m}}{dt}=-\gamma \mathbf{m}\times {\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}+\alpha \mathbf{m}\times \frac{d\mathbf{m}}{dt}$$

である。$\gamma$はジャイロ磁気比、$H_{e}ff$は交換・異方性・外場・反磁場などを含む有効磁場である。

1.2 FMRの基本式：線幅との関係

小振幅の一様歳差（FMR）では、周波数掃引・磁場掃引のどちらでも線幅がαに比例する。代表例として、角周波数ωに対する磁場掃引のFWHM線幅$\Delta H$が

$$\mathrm{\Delta }H(\omega )=\mathrm{\Delta }{H}_0+\frac{2\alpha }{\gamma }\omega$$

と表される場合が多い（$\Delta H_0$は周波数に依らないオフセットで、静的不均一や二マグノン散乱など非理想要因を含みうる）。定義（HWHMかFWHMか、あるいは有効磁場の取り方）により係数が変わる文献もあるため、同一実験系の定義内で整合させる必要がある。

1.3 モード緩和率から見たα

スピン波モード（波数k、角周波数${\omega }_k$）の強度が時間定数${\tau }_k$で減衰する場合、

$${\mathrm{\Gamma }}_k\equiv \frac{1}{{\tau }_k}\simeq {\alpha }_{\mathrm{eff}}(k,\omega ){\omega }_k$$

と見なせることが多い。ここで重要なのは、αは必ずしも定数ではなく、温度T、周波数ω、波数k、磁化方向、試料形状により「有効的に」変化しうる点である。

2. 内因性1：SOC媒介の電子励起

SOCにより磁化ダイナミクスが電子系へトルクを与え、電子散乱（不純物散乱・フォノン散乱などにより有限寿命を持つ電子状態）が散逸を担う、という描像が金属磁性体の第一原理評価で広く用いられる。これは本稿の主題から外すが、比較対象として「電子励起主導」と「格子・マグノン主導」の違いを明確にするため、以降の節では“電子スペクトルを主役にしない”形での散逸を整理する。

3. 内因性2：フォノン相互作用

3.1 マグノン–フォノン結合によるスピン格子緩和（磁気弾性起源）

3.1.1 磁気弾性エネルギー（連続体）

磁化方向余弦を${\alpha }_i$、ひずみを${\epsilon }_{ij}$とすると、立方晶の最低次磁気弾性エネルギー密度は

$$E_{\mathrm{me}}=B_1({\alpha }_1^2{\epsilon }_{xx}+{\alpha }_2^2{\epsilon }_{yy}+{\alpha }_3^2{\epsilon }_{zz})+2B_2({\alpha }_1{\alpha }_2{\epsilon }_{xy}+{\alpha }_2{\alpha }_3{\epsilon }_{yz}+{\alpha }_3{\alpha }_1{\epsilon }_{zx})$$

と書ける。ここで$B_1,B_2$は磁気弾性定数（エネルギー密度、$P_a$と同次元）である。変位場$u(r,t)$により

$${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})$$

であり、格子振動（フォノン）は時間依存ひずみとして磁化に摂動を与える。

3.1.2 摂動論的な減衰率（フォノン浴としての見方）

磁化の小振幅運動（マグノン）をフォノン浴に結合した開放系として扱うと、マグノンモードkの減衰率はフェルミの黄金律の形で

$${\mathrm{\Gamma }}_k=\frac{2\pi }{\hslash }\sum _{q,\lambda }{\left|g_{k,q}^{(\lambda )}\right|}^2[(n_{q\lambda }+1)\delta ({\omega }_k-{\omega }_{k-q}-{\mathrm{\Omega }}_{q\lambda })+n_{q\lambda }\delta ({\omega }_k-{\omega }_{k-q}+{\mathrm{\Omega }}_{q\lambda })]$$

と表される。${\Omega }_{q\lambda }$はフォノン分枝λの角周波数、$n_{q\lambda }$はボース分布である。結合定数$g$は$B_1,B_{2}v（\mathrm{あ}\mathrm{る}\mathrm{い}\mathrm{は}\mathrm{よ}\mathrm{り}\mathrm{一}\mathrm{般}\mathrm{に}\mathrm{は}\mathrm{磁}\mathrm{気}\mathrm{弾}\mathrm{性}\mathrm{テ}\mathrm{ン}\mathrm{ソ}\mathrm{ル}）\mathrm{と}\mathrm{弾}\mathrm{性}\mathrm{定}\mathrm{数}、\mathrm{密}\mathrm{度}$ρ$、音速などで決まる。したがって、磁歪（磁気弾性）が大きい材料ほど、同程度の弾性・フォノン散乱条件のもとでマグノン–フォノン散逸が強まりうる。

3.1.3 緩和時間近似からの$\alpha$（簡易対応）

一様モードを単一緩和時間$\tau$で近似できる場合、スペクトル線幅は概ね$1/\tau$に比例し、

$${\alpha }_{\mathrm{me}}\sim \frac{1}{\omega {\tau }_{\mathrm{mp}}}$$

の形で見積もれる。より厳密には、磁気弾性結合で生じる散逸は「純粋な粘性型（周波数比例）」から外れる場合もあり、界面へのフォノン放射（phonon pumping）など幾何学依存の効果も含めて理論化されている。

3.1.4 温度依存と代表的な物理像

マグノン–フォノン散逸は、(i) フォノン人口（$n_{q\lambda }$）、(ii) フォノンの寿命（フォノン–フォノン散乱など）、(iii) 音速と弾性の異方性、(iv) 磁気弾性定数の温度変化、により$T$依存が決まる。低温では位相空間が絞られ減衰が小さく、高温ではフォノン人口増大と寿命短縮が競合し、単純な単調関数にならないこともある。

3.2 マグノン–マグノン相互作用による位相緩和・散逸（非線形起源）

3.2.1 相互作用の由来

連続体の磁気自由エネルギーには、交換・双極子相互作用・結晶異方性などが含まれる。これらは小振幅線形化では独立モードを与えるが、有限振幅ではマグノン間の散乱（3マグノン、4マグノン過程）を生み、エネルギーが別のモード群へ流れることで観測上の線幅増大（有効ダンピング）を生む。

3.2.2 4マグノン散乱の基本式

4マグノン過程を支配する相互作用ハミルトニアンを$H_{4m}$とすると、あるモード0の減衰率は、概念的に

$${\mathrm{\Gamma }}_0^{(4m)}\propto \sum _{k_1,k_2,k_3}|V_{0,k_1;k_2,k_3}{|}^2\delta ({\omega }_0+{\omega }_{k_1}-{\omega }_{k_2}-{\omega }_{k_3})\mathcal{F}(n)$$

と書ける。$V$は相互作用頂点、$F(n)vは占有数の組合せである。温度上昇でマグノン人口が増えると散乱相が増え、非線形寄与が顕在化しやすい。これは電子励起を主役に置かない内因性経路として整理できるが、実験的には振幅（励起強度）依存として現れることが多い。

3.3 空間非一様磁化が作る内部スピン流による非局所ダンピング（$q$依存の内因性）

3.3.1 位置づけ

磁化が空間的に変化すると、交換によりスピンの角運動量流束（内部スピン流）が生じる。内部スピン流は散乱や緩和により不可逆に消散し、結果として「局所$\alpha$」では表しにくい追加の減衰が出る。これは界面スピンポンピングとは異なり、単一磁性体内部だけで成立するため、内因性の一部として扱われることがある。

3.3.2 代表的な形：$q^2$ 項

長波長スピン波の範囲では、有効ギルバート定数を波数で展開し、

$${\alpha }_{\mathrm{eff}}(q)={\alpha }_0+\eta q^2+\mathcal{O}(q^4)$$

と表すことが多い。$\eta$ は非局所ダンピング係数であり、材料の電子輸送・スピン拡散・交換強度など（モデルにより）で決まる。ドメインウォール、スキルミオン、短波長マグノンでは $q$ が大きくなり、この寄与が無視できなくなる。

3.3.3 トルク相関型との関係

非局所ダンピングのミクロ導出には電子自由度が顔を出す場合も多いが、主題は「一様FMRの$\alpha$」ではなく「テクスチャやスピン波に固有の追加減衰」である点にある。したがって、SOC媒介の一様電子励起モデルとは異なる観測指標（波数依存、テクスチャ依存）で整理するのが有効である。

3.4 温度ゆらぎと縦磁化緩和（LLB的描像）

3.4.1 横緩和と縦緩和

LLGは|$M$|一定を前提に横方向（歳差）緩和を与える。一方、高温や強励起では|$M$|自体が揺らぎ、縦方向（長さ方向）の緩和が観測ダイナミクスに影響する。これを扱う現象論としてLandau–Lifshitz–Bloch（LLB）方程式が用いられ、横緩和係数と縦緩和係数が独立に入る。

3.4.2 有効 $\alpha$ への投影

LLBでは温度依存の緩和パラメータ（例：${\lambda }_{\perp },{\lambda }_{\parallel }$）により、FMR線幅や過渡応答が変化し、結果として“有効$\alpha$”がTで大きく変わる。特に$T_c$近傍では縦ゆらぎが強く、臨界的な緩和増大（または緩和時間の伸長）が出ることがある。これは電子励起スペクトルを主役に置かずとも、統計力学的なスピンゆらぎの側から散逸を理解する枠組みである。

4. 内因性寄与の比較表

表1：SOC媒介の電子励起以外を主役に置く内因性ダンピングの整理

区分	主役の自由度	代表的な数式の形	依存性の目安	どの観測量に出やすいか
マグノン–フォノン	フォノン	${\mathrm{\Gamma }}_k$が黄金律の和、$\alpha \sim 1/(\omega {\tau }_{\mathrm{mp}})$	磁気弾性定数、弾性、音速、フォノン寿命、$T$	FMR線幅のT依存、薄膜で異方的$\alpha$、マグノン減衰
マグノン–マグノン（非線形）	マグノン	$\mathrm{\Gamma }\propto V^2\delta (\sum \omega )\mathcal{F}(n)$	励起強度、$T$、双極子・交換・異方性の強さ	高出力FMR、スピン波分光での増幅・不安定
非局所ダンピング（内部スピン流）	非一様磁化（テクスチャ）	$\alpha (q)={\alpha }_0+\eta q^2$	交換長、スピン拡散、短波長モード	スピン波のk依存線幅、DW/Skの運動の粘性
縦磁化緩和（LLB）	温度ゆらぎ	横・縦緩和係数が別に入る	$T$（特に$T_c$近傍）、励起強度	温度依存FMR、超高速磁化ダイナミクス

5. 磁歪・磁気弾性とダンピングの関係

磁歪定数（例：${\lambda }_{100},{\lambda }_{111}$）や磁気弾性定数（$B_1,B_2$）が大きいことは、静的には磁化回転に伴う格子ひずみの大きさを意味する。動的には、磁化歳差運動が時間依存ひずみを駆動し、逆に格子振動が磁化に摂動を与えうるため、マグノン–フォノン散逸の結合定数gが大きくなる方向に働く。したがって、

$$\text{大きい磁歪（大きい磁気弾性）}\Rightarrow \text{強いスピン格子結合}\Rightarrow {\alpha }_{\mathrm{me}}\text{ が増えうる}$$

という連鎖が成立しうる。ただし、実際の大小関係はフォノン寿命・欠陥散乱・薄膜の境界条件などにも強く依存し、磁歪が大きいのに$\alpha$が必ず大きいとは限らない。

6. 「内因性」と「外因性」の境界にあるもの

二マグノン散乱や試料不均一に起因する線幅増大は、観測上は$\alpha$に見える成分を生むが、厳密には欠陥・粗さ・歪み分布など材料状態に依存する側面が大きい。したがって本稿の主題（理想化しても残る散逸）からは外すが、実験線幅の解析ではΔH_0や非線形項として顕在化することが多い。

まとめと展望

SOCを介した電子励起を主役に置く内因性ダンピング描像を外しても、(i) 磁気弾性を通じたマグノン–フォノン散逸、(ii) マグノン–マグノン相互作用に由来する非線形緩和、(iii) 空間非一様磁化が作る内部スピン流に起因する非局所ダンピング、(iv) 温度ゆらぎと縦磁化緩和を含む統計的枠組み、という複数の内因性経路が理論的に整理できる。これらは周波数依存・波数依存・温度依存・励起強度依存として異なる特徴を持ち、単一の定数αとしてまとめた値は“有効量”であることが多い。

今後の展望としては、第一に、磁気弾性定数（$B_1,B_2$やより一般のテンソル）と弾性・フォノン寿命を組み合わせた定量予測を進め、磁歪とダンピングの相関を「材料定数の組合せ」として明示することが重要である。第二に、スピン波・ドメインウォール・スキルミオンのような非一様ダイナミクスでは、非局所ダンピング（$q^2$項など）を含む有効理論が不可欠であり、実験の空間分解分光と整合する形でのモデル検証が求められる。第三に、温度ゆらぎ（LLB的描像）を組み込むことで、室温近傍から高温域までの線幅・緩和の一貫記述が可能になり、鉄損や高周波損失へ接続する基礎としても有用である。

参考文献

• William K. Peria et al., Magnetoelastic Gilbert damping in magnetostrictive thin films, Phys. Rev. B 103, L220403 (2021)
  https://doi.org/10.1103/PhysRevB.103.L220403
• Martin A. W. Schoen et al., Ultra-low magnetic damping of a metallic ferromagnet, arXiv:1512.03610（超低ダンピングの実験・理論整理）
  https://arxiv.org/abs/1512.03610
• H. Suhl, Theory of the magnetic damping constant（非線形過程・スピン波不安定性に関する古典的整理）
  https://boulderschool.yale.edu/sites/default/files/files/suhl_ieee.pdf
• I. Kurniawan, Theoretical Study on Finite Temperature Effect in Spin ...（ギルバートダンピングや温度効果の整理を含む学位論文）, 英語
  https://tsukuba.repo.nii.ac.jp/record/2008300/files/DA010764.pdf
• Justin M. Shaw, Ultra-low magnetic damping in metallic（レビュー資料）, 英語
  https://www.nims.go.jp/mmu/att/F6.pdf