微積分の初歩

微積分は、極限という考え方に基づいて「変化のしかた」を微分で、「蓄積のしかた」を積分で記述する理論である。両者は微積分学の基本定理により深く結びつき、自然科学や工学の方程式を表す共通言語となる。

参考ドキュメント

1. 京都大学OCW 微分積分学A（講義ページ） https://ocw.kyoto-u.ac.jp/course/547/
2. 京都大学OCW 微分積分学1（PDF） https://ocw.kyoto-u.ac.jp/wp-content/uploads/2021/04/2010_bibunsekibungakuB.pdf
3. MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus（Lecture Notes） https://ocw.mit.edu/courses/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/pages/lecture-notes/

1. 微積分が扱うもの：関数、変化率、蓄積

微積分の中心にあるのは関数である。実数 $x$ に対して値 $f(x)$ を返す対応

$$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$

を考え、入力 $x$ を変えたとき出力がどう変わるか、また出力を積み重ねたとき何が得られるかを扱う。

• 微分：$x$ をわずかに変えたときの $f(x)$ の変化率を定義する
• 積分：$f(x)$ を区間で足し合わせた「面積・総量」を定義する

どちらも「わずか」「足し合わせ」を厳密化するために極限が必要になる。

2. 極限：微積分の出発点

2.1 数列の極限

数列 $\{a_n\}$ が $L$ に収束するとは、

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\text{s.t.}n\ge N\Rightarrow |a_n-L|<\epsilon$$

が成り立つことである。$\epsilon$ は許容誤差、$N$ はそれ以降十分近いことを保証する指標である。

基本事項として、極限は一意であり、四則演算（和・差・積・商）に対して良い性質を持つ。

2.2 関数の極限（$\epsilon$–$\delta$）

関数 $f(x)$ の極限 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$ とは、次が成り立つことである。

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0\text{s.t.}0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

ここで $x=a$ そのものは条件から外されていることが重要である。関数が $a$ で定義されていなくても、近傍での振る舞いにより極限が定まる場合がある。

3. 連続性：極限と関数値が一致するという性質

関数 $f$ が点 $a$ で連続であるとは、

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

が成り立つこと、同値に

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0\text{s.t.}|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon$$

が成り立つことである。

連続関数には次の重要定理がある。

• 中間値の定理：連続関数は値を飛び越えない
• 最大最小値の定理：閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数は最大値・最小値を持つ
• 一様連続（閉区間上）：閉区間上の連続関数は一様連続である

これらは微分・積分の基礎定理を支える土台である。

4. 微分：変化率の極限としての導関数

4.1 導関数の定義

関数 $f$ の点 $x$ における導関数 $f^{\prime }(x)$ は差商の極限として定義される。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

幾何学的には接線の傾き、物理的には瞬間速度などの意味をもつ。微分可能であれば連続であるが、連続でも微分可能とは限らない。

4.2 微分の基本公式

微分は線形であり、積・商・合成に対して規則がある。

規則	公式
線形性	$(af+bg{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }+b{g}^{\prime }$
積の微分	$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
商の微分	$(f/g{)}^{\prime }=(f^{\prime }g-f{g}^{\prime })/g^2$（$g\ne 0$）
連鎖律	$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

4.3 基本的な導関数

関数 $f(x)$	導関数 $f^{\prime }(x)$
$x^n$（整数 $n\ge 1$）	$n{x}^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$（$x>0$）	$1/x$

多項式・指数・対数・三角関数は、多くのモデルの基礎関数であり、計算規則と組み合わせて広いクラスを扱える。

4.4 高階導関数と曲率感覚

2階導関数 $f^{″}(x)$ は傾きの変化率であり、凸凹や加速度の議論に現れる。

• $f^{″}(x)>0$：下に凸（接線が増加方向に回る）
• $f^{″}(x)<0$：上に凸

変曲点は $f^{″}(x)=0$ の候補点であり、符号変化まで含めて判断する。

5. 平均値の定理とテイラー展開：近似のための骨格

5.1 ロルの定理と平均値の定理

ロルの定理： $f$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能で $f(a)=f(b)$ なら $\mathrm{\exists }c\in (a,b)\text{s.t.}{f}^{\prime }(c)=0$ が成り立つ。

平均値の定理： $f$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能なら

$$\mathrm{\exists }c\in (a,b)\text{s.t.}{f}^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

が成り立つ。

これにより、導関数の符号が単調性を支配することや、誤差評価の基本形が導かれる。

5.2 テイラーの定理（1変数）

$f$ が十分回微分可能であるとき、点 $a$ の近くで

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+R_n(x)$$

と展開できる。余項 $R_n(x)$ の形として、ラグランジュ型は

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}(\xi \text{は}a\text{と}x\text{の間})$$

である。

テイラー展開は、関数を多項式で局所近似する仕組みであり、微分方程式の近似解、誤差評価、物理量の小さな揺らぎの解析に直結する。

6. 積分：和の極限としての定積分

6.1 リーマン和と定積分

区間 $[a,b]$ を分割し、幅 $\mathrm{\Delta }{x}_i$ と代表点 ${\xi }_i$ を用いるリーマン和

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

の分割幅が十分小さくなる極限として、定積分が定義される（リーマン積分の考え方）。

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

幾何学的には面積、物理的には仕事・質量・電荷などの総量として現れる。

6.2 不定積分と原始関数

不定積分は「導関数が与えられた関数になる」関数の族を表す。

$$\int f(x)dx=F(x)+C,F^{\prime }(x)=f(x)$$

$C$ は積分定数である。

6.3 定積分と不定積分の比較

観点	定積分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$	不定積分 $\int f(x)dx$
出力	数（面積・総量）	関数の族（$+C$）
定義の核	和の極限	逆微分（原始関数）
物理的意味	区間での蓄積	局所的な関係（微分の逆）
計算の道具	置換・部分積分・対称性	同左（ただし定数に注意）

7. 微積分学の基本定理：微分と積分の接続

7.1 第1基本定理（積分から微分へ）

連続関数 $f$ に対し

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

と定めると、$F$ は微分可能で

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

が成り立つ。

7.2 第2基本定理（原始関数から定積分へ）

$F^{\prime }(x)=f(x)$ を満たす原始関数 $F$ があるとき、

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

が成り立つ。

この2つにより、定積分が原始関数の差として計算できることが保証される。

8. 積分計算の基本手法：置換積分と部分積分

8.1 置換積分

変数変換 $u=g(x)$ を行い $du=g^{\prime }(x)dx$ とすると、形を整えて積分が可能になる。 定積分では境界も変換する：

$${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)dx={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$

8.2 部分積分

積の微分 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ を積分して得る。

$$\int udv=uv-\int vdu$$

定積分では

$${\int }_a^{b}udv={\left[uv\right]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

である。

指数・三角・多項式の積、対数、逆三角などで頻用される。

9. 応用としての積分：面積・体積・弧長・仕事

微積分の意味は「量の定義」にも現れる。

9.1 面積

非負関数 $f$ に対し、曲線と $x$ 軸で囲まれる面積は

$$A={\int }_a^{b}f(x)dx$$

で表される。

9.2 回転体の体積（概念）

$y=f(x)$ を $x$ 軸回りに回転した体積は（円板法の考え方）

$$V=\pi {\int }_a^b(f(x){)}^{2}dx$$

で表される。

9.3 弧長

$y=f(x)$ の弧長は

$$L={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$$

で表される。

9.4 仕事

力 $F(x)$ による仕事は

$$W={\int }_a^{b}F(x)dx$$

で表され、物理量の「蓄積」の原型となる。

10. 広義積分と無限級数：無限を扱うための極限

10.1 広義積分

無限区間や特異点を含む積分は極限として定義する。 例：

$${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{R}f(x)dx$$

収束・発散の判定には比較判定などが使われる。

10.2 無限級数

数列の和の極限として

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$

を考える。収束判定（比判定、積分判定など）を通じて、近似や展開（例えばテイラー級数）の正当性が整理される。

11. 多変数への橋渡し：偏微分と重積分（概観）

1変数の微積分は、多変数へ自然に拡張される。

11.1 偏微分

$f(x,y)$ に対し、$x$ だけを変化させた変化率は

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$

である。同様に $\partial f/\partial y$ を定義する。

11.2 全微分

滑らかな $f(x,y)$ は微小変化に対して

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

と近似できる。

11.3 重積分

領域 $D$ 上の総量は

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

で表され、体積や質量などを与える。変数変換（ヤコビアン）により対称性を用いた計算が可能になる。

12. 微積分の見取り図：微分方程式と近似の入口

微分は「局所の法則」を、積分は「大域の量」を表す。物理では、局所の法則が微分方程式として書かれ、解の形や保存則が積分により表現されることが多い。

例として、1次の常微分方程式

$$\frac{dy}{dx}=g(x,y)$$

は「変化率が状態で決まる」という形式であり、初期条件とともに関数 $y(x)$ を定める問題となる。ここでは解法の詳細に入らず、微分が方程式を作り、積分が量や解の形を結びつけるという構図を押さえるのが要点である。

まとめと展望

微積分の初歩は、極限を土台にして導関数を差商の極限として定義し、定積分を和の極限として定義するところから始まるのである。さらに、平均値の定理とテイラーの定理が「局所近似と誤差評価」の骨格を与え、微積分学の基本定理が微分と積分を統一することで、計算と理論の双方に強い見通しを与える。

展望として、多変数微積分（偏微分、重積分、変数変換）へ進むと、ベクトル解析（勾配・発散・回転）や場の方程式（電磁気学、流体、弾性）へ接続される。さらに、関数解析や測度論的積分（ルベーグ積分）の枠組みは、極限操作の安定性をより深く保証し、確率論・量子論・数値解析へと広い道筋を開くのである。

参考文献・資料

• Paul’s Online Math Notes: Calculus I https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/calci.aspx

• Paul’s Online Math Notes: Common Derivatives and Integrals（PDF） https://tutorial.math.lamar.edu/pdf/common_derivatives_integrals.pdf

• 東京大学（解析学A/B 講義資料リンク集：微積分学の基本定理等PDFへの入口） https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/log.html

• 京都大学RIMS 公開ノート「微分積分学」（PDF） https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ishimoto/files/note_calculus.pdf