高周波計測技術

インピーダンスアナライザ、VNA、B-Hアナライザの測定は、観測量（電圧・電流・反射・透過・誘導電圧）が違うだけで、背後の支配方程式は電磁気学と線形応答理論で共通である。測定値を材料パラメータへ写像するには、回路・伝送線路・校正・信号処理・不確かさ評価が一体として必要である。

1. ベースとなる学問体系

参考ドキュメント

• HIOKI インピーダンス測定の手引き（PDF） https://www.hioki.co.jp/file/cmw/hdCatalog/4779/pdf/?action=browser
• 都産技研 高速デバイスの高周波特性評価手法の確立（VNA校正：SOLT/TRL）（PDF） https://www.iri-tokyo.jp/uploaded/attachment/1012.pdf
• IWATSU FAQ | B-Hアナライザ（測定原理・励磁方式） https://www.iwatsu.co.jp/tme/sy/b-h_faq/

高周波特性評価の基礎は、

1. 電磁気学（Maxwell方程式と物質方程式）
2. 回路理論（集中定数回路、複素インピーダンス、等価回路）
3. 伝送線路・マイクロ波工学（分布定数、散乱行列、参照面）
4. 計測工学（励振・検出・同期、アナログフロントエンド）
5. 信号処理（I/Q、FFT、積分、ドリフト補正、ノイズ）
6. 計量標準（校正、誤差モデル、不確かさ、トレーサビリティ）
7. 磁性物理（磁区・磁壁、緩和、渦電流、共鳴、非線形）

これらがどの測定器で前面化するかを表にまとめる。

領域	インピーダンスアナライザ	VNA	B-Hアナライザ
観測量	$Z=V/I$	$S_{11},S_{21}$	$i(t),v_2(t)$
主要モデル	等価回路、集中定数	伝送線路、散乱行列	誘導法、ループ積分
重要技術	4端子対、治具補償、自己共振	SOLT/TRL、参照面、デエンベディング	位相整合、積分安定、電力段
物理の焦点	小信号 ${\mu }^{\ast }(\omega )$	広帯域 ${\mu }^{\ast },{\epsilon }^{\ast }$、反射/透過	大信号 $B$-$H$、損失 $P_v$

2. 電磁気学：測定系の最終的な親方程式

測定原理を最も一般に書くと Maxwell 方程式である。

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\mathrm{\nabla }\times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0,\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{D}=\rho$$

物質方程式（線形・等方の基本形）は

$$\mathbf{B}=\mu \mathbf{H},\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E},\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$$

高周波の損失や位相遅れを扱うため、複素定数を導入する。

$${\mu }^{\ast }(\omega )={\mu }^{\prime }(\omega )-j{\mu }^{″}(\omega ),{\epsilon }^{\ast }(\omega )={\epsilon }^{\prime }(\omega )-j{\epsilon }^{″}(\omega )$$

ここで ${\mu }^{″}$ は磁気的な吸収（損失）成分、${\epsilon }^{″}$ は誘電損失成分である。導電損失は $\sigma$ と結び付き、等価的に ${\epsilon }^{\ast }$ へ吸収される表現も可能である。

準静近似と分布定数化の境界

測定対象と周波数が上がるほど、電磁場は空間分布を持ち、集中定数近似が破綻する。代表的な目安は「対象寸法が波長の十分小さいとき集中定数、そうでなければ分布定数」である。分布定数になった瞬間に、VNAの散乱行列表現が自然になる。

3. 回路理論：インピーダンス測定の骨格

3.1 複素インピーダンスと等価回路

正弦定常の複素表示で、インピーダンスは

$$Z(\omega )=\frac{V(\omega )}{I(\omega )}=R(\omega )+jX(\omega )$$

コア付きコイルの最小モデルは

• 巻線抵抗 $R_w$
• コア由来の等価抵抗（磁気損） $R_{\mu }(\omega )$
• インダクタンス $L(\omega )$
• 浮遊容量 $C_p$

であり、周波数上昇で $C_p$ が支配的になり自己共振が現れる。

$$f_0\approx \frac{1}{2\pi \sqrt{L{C}_p}}$$

3.2 4端子法・4端子対の意味

低インピーダンス測定では、リード抵抗や接触抵抗が $Z$ に混入する。電流経路と電圧検出経路を分ける4端子法は、その混入を抑えるための計測学的工夫である。高周波ではさらにケーブルの寄生成分や結合が効くため、測定端子形態（2端子、4端子、4端子対）と治具モデル化が精度を決める。

3.3 $Z(\omega )$ から ${\mu }^{\ast }(\omega )$ へ（トロイドの理想化）

トロイダルコアの実効断面積 $A_e$、実効磁路長 $l_e$、巻数 $N$ に対して、理想化すると

$$L_0=\frac{{\mu }_0{N}^2{A}_e}{l_e}$$$$Z(\omega )\approx j\omega L_0{\mu }_r^{\ast }(\omega )=\omega L_0{\mu }_r^{″}(\omega )+j\omega L_0{\mu }_r^{\prime }(\omega )$$

よって直列等価に落とすと

$$L_s(\omega )\approx L_0{\mu }_r^{\prime }(\omega ),R_s(\omega )\approx \omega L_0{\mu }_r^{″}(\omega )$$

となる。実際には漏れ磁束、分布定数、巻線損失の補正が必要である。

4. 伝送線路・マイクロ波工学

4.1 伝送線路方程式と固有量

分布定数線路は単位長さあたりの $R,L,G,C$ を持ち、伝搬定数 $\gamma$ と特性インピーダンス $Z_0$ を持つ。

$$\gamma (\omega )=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)},Z_0(\omega )=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$$

損失の小さい近似では

$$\gamma \approx \alpha +j\beta ,\beta \approx \omega \sqrt{LC}$$

材料を同軸・導波管・CPWに挿入すると、$L,C,G,R$ が材料定数 ${\mu }^{\ast },{\epsilon }^{\ast },\sigma$ で変化し、それが反射・透過として観測される。

4.2 散乱行列（Sパラメータ）の物理

VNAが直接測るのは進行波の比である。

$$\mathbf{b}=\mathbf{S}\mathbf{a}$$

1ポート反射は $S_{11}$、2ポート透過は $S_{21}$ に現れる。負荷インピーダンス $Z_L$ と反射係数 $\mathrm{\Gamma }$ は

$$\mathrm{\Gamma }=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$$

で結び付く。この式が「回路量」と「波の量」の変換の最短経路である。

4.3 校正と参照面：VNA測定と計測学

Sパラメータ測定では、基準面（参照面）をどこに置くかが測定値の意味を決める。校正（SOLT、TRLなど）は、系統誤差をモデルに基づいて除去し、参照面を定義する操作である。

• SOLT：Short/Open/Load/Thru の標準器を用い、既知の反射と透過で誤差係数を同定する
• TRL：Thru/Reflect/Line により、伝送線路上の参照面設定に強い

校正後も治具の残差が残る場合、デエンベディング（治具を数学的に取り除く）を行い、「試料端面」を参照面に近づける。

4.4 $S_{11},S_{21}$ から ${\mu }^{\ast },{\epsilon }^{\ast }$ を得る（逆問題）

厚さ $d$ の一様媒質に対し、伝搬定数と波インピーダンスは

$$\gamma (\omega )=j\omega \sqrt{\mu (\omega )\epsilon (\omega )},Z(\omega )=\sqrt{\frac{\mu (\omega )}{\epsilon (\omega )}}$$

である。透過反射法（NRW系）では、$S_{11},S_{21}$ を用いて界面反射係数 $\mathrm{\Gamma }$ と $e^{-\gamma d}$ を復元し、そこから ${\mu }^{\ast },{\epsilon }^{\ast }$ を推定する。位相の枝選択、共鳴近傍の不安定性、参照面誤差が精度を強く制約するため、「校正・治具・試料加工」を一体として設計する必要がある。

5. 誘導法とエネルギー積分：B-H測定の骨格（時間領域）

5.1 BとHの構成（トロイドの基本式）

一次巻線 $N_1$ を励磁、二次巻線 $N_2$ を検出とし、実効断面積 $A_e$、実効磁路長 $l_e$ のトロイダル試料では

$$H(t)=\frac{N_{1}i(t)}{l_e}$$$$v_2(t)=N_2{A}_e\frac{dB(t)}{dt}\Rightarrow B(t)=\frac{1}{N_2{A}_e}\int v_2(t)dt$$

B-Hアナライザの核心は、(i) 励磁電流の精密取得、(ii) 積分の安定化、(iii) チャンネル間位相を含む周波数応答の補正にある。

5.2 損失の物理：ループ面積と複素透磁率

1周期あたりのエネルギー損失密度は

$$W=\oint HdB$$

平均電力密度は

$$P_v=f\oint HdB$$

正弦波・線形応答まで落とすと位相差 $\delta$ で

$${\mu }^{\prime }=\frac{B_m}{{\mu }_0{H}_m}\cos \delta ,{\mu }^{″}=\frac{B_m}{{\mu }_0{H}_m}\sin \delta$$$$P_v=\omega {\mu }_0{\mu }^{″}{H}_{\mathrm{rms}}^2$$

となり、B-H測定と小信号の ${\mu }^{\ast }$ は同じ物理を別の断面から観測していることが分かる。

5.3 時間領域固有の技術課題

積分による $B(t)$ 構成では、DCオフセットが積分でランプ状に増幅されるため、オフセット除去や高域遮断（積分器の帯域設計）、デジタルでのドリフト補正が重要になる。また、高周波では電流検出・電圧検出間の位相差が損失の評価へ直接混入するため、周波数応答を含めた補正が本質となる。

6. 信号処理・計測工学：測定値を物理量へ翻訳する

6.1 同期検波（I/Q）と位相の確定

高周波では振幅だけでなく位相が物性推定に直結する。I/Q 検出は、信号 $x(t)$ を基準 $\cos \omega t,\sin \omega t$ で直交展開し、複素振幅を得る方法である。

$$X(\omega )=I(\omega )+jQ(\omega )$$

これにより ${\mu }^{\prime }(\omega ),{\mu }^{″}(\omega )$ の推定や、Sパラメータの複素表示が安定化する。

6.2 フーリエ変換とスペクトル解析

時間波形 $x(t)$ の周波数成分は

$$X(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$$

で与えられる。B-H測定では、励磁波形の高調波を含む場合、$B$ と $H$ の位相関係が周波数ごとに異なり得るため、波形品質（高調波含有）と解析（必要なら高調波別の損失分解）が問題になる。

6.3 ノイズと帯域：何が測定限界を決めるか

測定限界は、熱雑音、増幅器雑音、量子化雑音、位相雑音、外来ノイズにより決まる。高周波では方向性結合器やミキサを含むため、SNRだけでなく直交誤差（I/Q不均衡）や直流漏れも誤差源になる。

7. 計量標準と不確かさ：測定結果の信頼性

7.1 誤差の分類：系統誤差と偶然誤差

• 偶然誤差：ノイズに起因し、平均化で低減しやすい
• 系統誤差：校正不足、参照面ずれ、治具モデル不整合などで生じ、平均化では消えない

VNAでは系統誤差の扱いが特に重要であり、校正方式の選択（SOLT/TRL）と標準器モデルの精度が支配的になる。

7.2 不確かさ伝播の基本式

推定量 $y=f(x_1,x_2,\dots )$ の分散は、近似的に

$$u_y^2=\sum _i{\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}^2{u}_{x_i}^2$$

で与えられる。ここで $u$ は標準不確かさである。材料定数抽出では $f$ が非線形かつ位相の枝を含むため、単純な線形化が難しい場面がある。その場合、周波数連続性や物理的拘束条件（受動性、因果律）を併用して推定の安定性を高めることが多い。

8. 治具・試料・実装：電磁場を望む形に作る技術

測定器が優秀でも、治具が電磁場を乱すと材料定数は正しく抽出できない。治具設計は「場の問題」である。

• インピーダンス測定：トロイド巻線、1ターン治具、電極配置、リードの最短化
• VNA測定：同軸管（air line）、導波管、CPW、試料挿入部の段差・ギャップ抑制
• B-H測定：巻線配置、検出巻線の結合、電流帰路の磁界混入抑制、熱管理

高周波では、導体表面に電流が集中する皮相効果が現れる。

$$\delta =\sqrt{\frac{2\rho }{\omega \mu }}$$

この式は、巻線抵抗の周波数増加、金属磁性体内部の渦電流損失、治具導体損失の増加を同一の言語で説明する。

9. 解析（逆問題）の設計：測る前にモデルを決める

高周波材料評価は「逆問題」の色が濃い。

• $Z(\omega )\Rightarrow$ 等価回路パラメータ $\Rightarrow {\mu }^{\ast }(\omega )$
• $S_{11},S_{21}\Rightarrow$ 伝搬定数・反射係数 $\Rightarrow {\mu }^{\ast }(\omega ),{\epsilon }^{\ast }(\omega )$
• $i(t),v_2(t)\Rightarrow H(t),B(t)\Rightarrow P_v,{\mu }_a$

逆問題では、モデルの選び方が結果を決める。例えば、強い分布定数化が起きているのに集中定数モデルで $Z$ を解釈すると、${\mu }^{\ast }$ の見かけ値が不自然な分散を示しうる。逆に、試料が十分小さく準静的なのに、過剰に複雑な伝送線路モデルを当てると、パラメータ同定が不安定化する。測定器選定は、物理モデル選定と同時に行うべきである。

まとめ

高周波磁気特性評価の基盤は、Maxwell方程式を出発点として、集中定数（インピーダンス）と分布定数（Sパラメータ）を適切に切り替え、時間領域の誘導法（B-H）でエネルギー積分へ落とす学理にある。校正と参照面、不確かさ、治具の電磁場設計、信号処理が、測定値を材料パラメータへ翻訳するための中核技術である。

関連研究

• NIST Technical Note 1355-R: Transmission/Reflection and Short-Circuit Line Methods ...（PDF） https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/Legacy/TN/nbstechnicalnote1355r.pdf

• NIST: Large-Diameter Coaxial Air Line（TRLや同軸標準に関する資料）（PDF） https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=7809

• IEC 60404-6（磁性材料の AC 磁気特性測定：リング試料など）（サンプルPDF） https://cdn.standards.iteh.ai/samples/19819/684d271aa22f443492060417ebd385bf/IEC-60404-6-2018.pdf

• Keysight: VNA / calibration 関連テクニカルノート（例） https://www.keysight.com/us/en/assets/7018-06749/technical-overviews/5091-3645.pdf

• Anritsu: VNA measurement guide（例） https://dl.cdn-anritsu.com/en-us/test-measurement/files/Manuals/Measurement-Guide/10410-00318AH.pdf