時系列解析入門

参考ドキュメント

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Time Series Analysis
  • https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc4.htm
• statsmodels: Time Series analysis (tsa)
  • https://www.statsmodels.org/stable/tsa.html
• statsmodels: STL decomposition
  • https://www.statsmodels.org/dev/examples/notebooks/generated/stl_decomposition.html
• Barkhausen noiseの非定常解析（STFTなど、公開論文例）
  • https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7038468/

概要

時系列解析は、時間とともに変化する観測値 x(t)（または離散系列 x_t）から、

• トレンド（長期変化）
• 周期性（装置や環境の周期、駆動周波数に同期する応答）
• 自己相関（過去の影響が残る“記憶”）
• ノイズ特性（白色、1/f、ランダムウォーク、ドリフト）
• 構造変化・相転移の開始時刻（変化点）

などを定量化し、解釈・予測・異常検知・モデル化に繋げる手法群です。

材料科学では、例として

• in situ/operando測定（XRD, XAFS, 電気化学、磁気特性）の時間発展
• 薄膜・粉末・バルクの長時間安定性（ドリフト、劣化）
• 磁気ノイズ（MBN）やセンサ信号の過渡応答
• MDのエネルギー/温度/速度/応力の揺らぎ などが典型です。

1. 時系列の典型パターン

観測 x_t を次の和として考えると整理しやすいです。

加法モデル（代表）

$$x_t=T_t+S_t+R_t$$

• T_t: trend（トレンド）
• S_t: seasonal（周期・季節性）
• R_t: residual（残差：ノイズ＋短周期成分＋未モデル化）

材料データでは “seasonal” は季節に限らず、装置周期（温調サイクル、電源ノイズ、回転系、試料往復など）も含みます。

2. 実験・計算データで必ず確認すること

2.1 サンプリング

• サンプリング間隔が等間隔か（等間隔でない場合は、そのままARIMA等に入れない）
• 取得頻度が変わっていないか（途中で設定変更）
• 欠損（NaN）が発生していないか、欠損の原因（通信、検出器飽和、トリガ不整合）

2.2 ドリフトとオフセット

長時間計測では、温度・機械・電子回路の影響でベースラインが動きます。 ドリフトは「信号」ではなく「系統誤差」であることが多く、先に分離して扱うと解釈が安定します。

2.3 外れ値

外れ値は消す前に理由を確認します（瞬間的な放電、振動、試料位置ずれ、測定レンジ切替）。

3. 前処理

3.1 デトレンド（trend除去）

• 多項式回帰、移動平均、STL分解などでトレンド成分を分離
• “物理的に意味のある長時間変化” がある場合は、トレンドを消しすぎない

3.2 差分（differencing）

非定常（平均が変わる）を弱める基本操作：

$$y_t=x_t-x_{t-1}$$

季節周期 m の差分：

$$y_t=x_t-x_{t-m}$$

ARIMAの “I” はこの差分回数を意味します。

3.3 標準化・対数

• 分散が時間とともに変わる（ヘテロスケ）ときは対数変換が有効な場合があります。
• ただし 0 や負値の扱いに注意します。

4. 定常性（stationarity）の考え方

弱定常の直感：

• 平均が一定
• 分散が一定
• 自己共分散が時刻ではなく遅れ τ のみで決まる

多くの時系列モデル（ARMA/ARIMAなど）は、定常性（または差分で定常化できること）を前提に設計されています。

定常性チェックの道具（代表）

• 目視：時系列プロット、移動平均との差、分散の時間変化
• 定量：ADF（単位根）検定、KPSS（定常性）検定など
  • 検定は万能ではないため、目視と併用します。

5. 自己相関（ACF）と偏自己相関（PACF）

自己相関関数（ACF）の定義（概念）：

$$\rho (\tau )=\frac{\mathrm{Cov}(x_t,x_{t-\tau })}{\mathrm{Var}(x_t)}$$

• ACF: “どれくらい過去が残るか”
• PACF: “他の遅れの影響を除いた、直接の影響”

モデル同定の直感（典型）

• AR(p): PACFが p で概ね打ち切り
• MA(q): ACFが q で概ね打ち切り
• ARMA: ACF/PACFともに減衰

6. 分解（decomposition）：STLの使いどころ

STLは時系列を

• trend
• seasonal
• residual に分ける実用的な方法です。

材料データの使い分け例

• トレンド：劣化、相変化の進行、ドリフト
• 季節：温調サイクル、駆動周期、装置の周期ノイズ
• 残差：ランダム揺らぎ、イベント、ノイズ源

STL後に残差だけを解析すると、

• 変化点検出
• 異常検知
• 短周期モード抽出 がやりやすくなります。

7. 代表モデル（何を目的にするかで選ぶ）

7.1 AR, MA, ARMA, ARIMA（基本）

AR(p):

$$x_t=c+\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{x}_{t-i}+{\epsilon }_t$$

MA(q):

$$x_t=\mu +{\epsilon }_t+\sum _{j=1}^q{\theta }_j{\epsilon }_{t-j}$$

ARIMA(p,d,q) は d 回の差分で定常化した系列にARMAを当てるモデルです。

使いどころ

• 比較的短い時系列でも動き、ベースライン変化を差分で吸収できる
• 外部要因が入る場合は SARIMAX や回帰＋ARMA誤差へ拡張

7.2 SARIMA / SARIMAX（周期・外部要因あり）

周期 m の季節性（装置周期、温調周期など）があるときに有効。 x_t に加えて、温度、応力、磁場などの共変量（exog）を入れると、物理解釈もしやすくなります。

7.3 状態空間モデルとカルマンフィルタ（欠損・ノイズ分離に強い）

状態（見えない物理量）z_t が時間発展し、観測 x_t はそれをノイズ付きで見ている、と捉えます。

一般形（概念）：

$$z_t=A{z}_{t-1}+w_t,x_t=C{z}_t+v_t$$

• 欠損がある時系列
• 観測ノイズと状態ノイズを分けたい
• オフライン推定（平滑化）もしたい に強いです。

7.4 指数平滑（Exponential Smoothing）

短期予測やトレンド追従の簡便法。装置モニタの平滑化にも向きます。

8. 変化点検出・異常検知（材料科学で重要）

目的

• 相転移の開始、析出開始、亀裂発生、装置状態の変化など “いつ起きたか” を推定

考え方（例）

• 平均が変わる（mean shift）
• 分散が変わる（variance shift）
• 傾きが変わる（trend change）
• 周期成分が消える/出る（seasonal change）

手法は多数ありますが、まずは

• STLでトレンド/季節を分離
• 残差に対して閾値・CUSUM・統計モデル から始めると実装しやすいです。

9. 長時間安定性評価：Allan分散（計測・ドリフト解析）

通常の分散は、ランダムウォークや1/fノイズを含むと解釈が難しくなることがあります。 Allan分散（Allan deviation）は「平均化時間」を変えたときの安定性を評価でき、装置ノイズ源の切り分けに使われます。

定義（周波数安定性の文脈が典型だが、計測ドリフト評価にも応用される）：

$${\sigma }_A^2(\tau )=\frac{1}{2}⟨({\overline{x}}_{k+1}(\tau )-{\overline{x}}_k(\tau ){)}^2⟩$$

• $\tau$: 平均化時間
• ${\overline{x}}_k(\tau )$: 区間平均

材料測定の例

• 磁化、抵抗、歪計、温度センサの長時間ドリフト
• “最適な平均化時間” の探索（平均し過ぎるとドリフトが支配、短すぎると白色ノイズが支配）

10. 実務フロー

1. データ仕様確認：等間隔か、fs、欠損、単位、ログ
2. 可視化：生データ、移動平均、ヒストグラム、差分系列
3. トレンド/周期の分離：STLやフィルタ、物理的背景と照合
4. 自己相関評価：ACF/PACF
5. モデル候補：ARIMA/SARIMAX/状態空間/指数平滑を目的に応じて選ぶ
6. 評価：時系列の交差検証（ローリング起点）と予測区間の確認
7. 解釈：推定結果を物理量（緩和時間、時間定数、開始時刻、ドリフト速度）へ落とす
8. 再現性：前処理・パラメータ・除外条件を必ず記録

11. 材料科学での応用例

• in situ XRDのピーク位置 x_t の時間発展
  • トレンド：格子定数変化、相分率変化
  • 変化点：相転移開始時刻
  • 周期：温調やガス導入の周期
• XAFSのフィットパラメータ（配位数、結合距離、Debye-Waller因子）の時間発展
  • トレンド/変化点：反応開始・停止、構造緩和
• MBNの特徴量（イベント率、エネルギー、帯域積分）の時間発展
  • 非定常信号としてSTFTやウェーブレットと併用することが多い
• MDの物理量（温度、圧力、全エネルギー、応力、局所秩序指標）の時系列
  • 自己相関から緩和時間、速度自己相関から振動特性へ

12. Pythonで始める最小例

STL分解（trend/season/resid）

• statsmodels の STL を使う

ARIMA/SARIMAX

• statsmodels.tsa の ARIMA / statespace.SARIMAX を使う

欠損がある、観測ノイズと状態ノイズを分離したい

• statsmodels の statespace 系（カルマンフィルタ基盤）を検討する