ブラケット記法の体系

ブラケット記法は、量子状態や結晶方位を簡潔に表すための「括弧の使い分け」の総称として現場で広く使われる。角括弧・丸括弧・角括弧（山括弧）・波括弧・角括弧（bracket）の役割を整理すると、式の意味を誤らずに物理量へ接続できるようになる。

参考ドキュメント

• ブラ-ケット記法（日本語） https://ja.wikipedia.org/wiki/ブラ-ケット記法
• 結晶の面と方向の記述方法（日本語） https://ceram.material.tohoku.ac.jp/~takamura/class/crystal/node11.html
• Lattice Planes and Miller Indices（英語） https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/miller_indices/printall.php

0. 用語の整理：同じ「ブラケット」でも文脈が2つある

「ブラケット記法」という語は、分野の文脈により主に次の2系統を指す。

• 量子論・線形代数：Dirac のブラ・ケット（bra-ket）記法
  • 例：状態 $|\psi ⟩$、双対ベクトル $⟨\varphi |$、内積 $⟨\varphi |\psi ⟩$
• 結晶学・材料組織：面と方向の括弧表記（Miller 指数を含む）
  • 例：面 $(hkl)$、方向 $[uvw]$、等価族 $\{hkl\}$、$⟨uvw⟩$、集合組織 $\{hkl\}⟨uvw⟩$

本稿では、まず Dirac 記法を線形代数として定式化し、その後に結晶学の括弧表記を整理し、最後に混同しやすい点をまとめる。

1. Dirac（ブラ・ケット）記法

1.1 状態は「ベクトル」であり、表示は「基底の取り方」で変わる

量子状態はヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ のベクトルとして表される。状態の本体は $|\psi ⟩$ であり、座標表示（波動関数）$\psi (x)$ は基底 $|x⟩$ を選んだときの成分にすぎない。

$$\psi (x)=⟨x|\psi ⟩$$

固体物理では、座標基底だけでなく、Bloch 基底、原子軌道基底、Wannier 基底など複数の基底が日常的に現れるため、「状態そのもの」と「表示」を区別できる Dirac 記法は特に相性がよい。

1.2 ket と bra：双対空間と随伴

ket は $\mathcal{H}$ のベクトル、bra は双対空間 ${\mathcal{H}}^{\ast }$(厳密には共役双対) の線形汎関数である。ket $|\psi ⟩$ に対応する bra は随伴（共役転置）で

$$|\psi ⟩\mapsto ⟨\psi |,⟨\psi |=(|\psi ⟩{)}^{†}$$

と書かれる。有限次元で基底を固定すれば、ket は列ベクトル、bra は行ベクトルとして具体化される。

1.3 内積と正規化：$⟨\varphi |\psi ⟩$ の意味

内積は bra が ket に作用した複素数である。

$$⟨\varphi |\psi ⟩\in \mathbb{C}$$

量子力学の慣習として、内積は一般に ket 側に線形、bra 側に共役線形で扱われる（数学の流儀と逆になる場合がある）。この選択により

$$⟨\varphi |\psi ⟩=⟨\psi |\varphi {⟩}^{\ast },⟨\psi |\psi ⟩\ge 0$$

が自然に実装される。正規化は

$$⟨\psi |\psi ⟩=1$$

である。固体計算では、規格化は波動関数の比較や投影、DOS・PDOS の定義、Wannier 化の安定性などに直結する。

1.4 直交基底と完全性：恒等演算子

固有状態や基底 $\{|n⟩\}$ が直交規格化されているとき、

$$⟨m|n⟩={\delta }_{mn}$$

である。さらに完全性（完備性）は恒等演算子 $\hat{I}$ の分解として

$$\sum _n|n⟩⟨n|=\hat{I}$$

と書ける。連続基底 $|x⟩$ の場合は

$$\int |x⟩⟨x|dx=\hat{I},⟨x|x^{\prime }⟩=\delta (x-x^{\prime })$$

となり、デルタ関数が「連続基底の直交性」を支える。

1.5 演算子：測定量・ハミルトニアン・期待値

物理量は演算子 $\hat{A}$ として表される。期待値は

$$⟨\hat{A}{⟩}_{\psi }=⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩$$

である。固体物理で頻出する具体例を挙げる。

• 固有値問題（バンド計算の骨格）

$$\hat{H}|n\mathbf{k}⟩={\epsilon }_{n\mathbf{k}}|n\mathbf{k}⟩$$

• 射影（局在軌道や原子成分への分解、PDOS の考え方）

$${\hat{P}}_{\alpha }=|\alpha ⟩⟨\alpha |,w_{\alpha }=⟨\psi |{\hat{P}}_{\alpha }|\psi ⟩=|⟨\alpha |\psi ⟩{|}^2$$

• 交換・反交換（スピン、量子輸送、第二量子化で頻出）

$$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A},\{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}$$

ここで角括弧 $⟨\cdot ⟩$ は期待値の意味にも使われるため、「$⟨\varphi |\psi ⟩$（内積）」と「$⟨\hat{A}⟩$（期待値）」を式の形で見分ける必要がある。

1.6 行列要素：$⟨i|\hat{A}|j⟩$ は「基底で見た成分」

基底 $\{|i⟩\}$ における演算子の成分は

$$A_{ij}=⟨i|\hat{A}|j⟩$$

である。したがって、固体電子論でしばしば現れる

• 軌道間 SOC 行列要素（例：$⟨d_{xy}|{\hat{L}}_z|d_{yz}⟩$）
• タイトバインディングのホッピング（例：$t_{ij}=⟨i|\hat{H}|j⟩$）
• Green 関数成分（例：$G_{ij}(E)=⟨i|(E+i\eta -\hat{H}{)}^{-1}|j⟩$）

はいずれも「基底で見た成分」という同じ意味を共有する。記号が変わっても、Dirac 記法は線形代数として統一される。

1.7 状態記法の基本

固体での代表例をまとめる。

• Bloch 状態

$$|n\mathbf{k}⟩,⟨n\mathbf{k}|m{\mathbf{k}}^{\prime }⟩={\delta }_{nm}{\delta }_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }}$$

• 位置基底と局在基底（原子軌道・Wannier）

$$|\mathbf{r}⟩,|\mathbf{R}\alpha ⟩,⟨\mathbf{r}|\mathbf{R}\alpha ⟩=w_{\alpha }(\mathbf{r}-\mathbf{R})$$

• 期待値・射影は同じ形で書ける

$$⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩,⟨\psi |{\hat{P}}_{\alpha }|\psi ⟩$$

この統一性により、第一原理計算の出力（波動関数、射影、行列要素）と、モデル（TB、スピン模型、応答理論）を同じ言語で接続できる。

1.8 誤りやすい点

1. $⟨\varphi |\psi ⟩$ の複素共役を落とす
   $⟨\psi |\varphi ⟩$ は一般に $⟨\varphi |\psi ⟩$ と等しくなく、$⟨\psi |\varphi ⟩=⟨\varphi |\psi {⟩}^{\ast }$ である。

2. 内積の「線形側」の流儀を混同する
   文献により、どちらの引数が線形かの約束が異なる。記号の変換だけでなく、共役の位置で齟齬が出る。

3. $⟨x|\psi ⟩$ を「ただの記号」とみなして演算の意味を失う
   $⟨x|$ は汎関数であり、$⟨x|\psi ⟩$ は成分である。$\int |x⟩⟨x|dx=\hat{I}$ と合わせて理解すると破綻しにくい。

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2. 結晶学の括弧表記

2.1 なぜ括弧が必要か

結晶では、同じ数字列でも「面」と「方向」で意味が変わる。そこで括弧の種類で区別する。

記法	意味	例	説明
$(hkl)$	特定の結晶面（格子面）	$(111)$	1枚の面（厳密にはその面に平行な面の集合として扱うことが多い）
$\{hkl\}$	等価な面の族	$\{111\}$	対称操作で移り合う面の集合
$[uvw]$	特定の結晶方向	$[110]$	格子ベクトル $\mathbf{R}=u\mathbf{a}+v\mathbf{b}+w\mathbf{c}$ の方向
$⟨uvw⟩$	等価な方向の族	$⟨110⟩$	対称性で等価な方向の集合

この括弧表記は、回折指数、すべり系、集合組織、界面方位関係など多くの議論の土台である。

2.2 方向 $[uvw]$ と面 $(hkl)$ の幾何学

面指数 $(hkl)$ は、逆格子ベクトル

$${\mathbf{G}}_{hkl}=h{\mathbf{b}}_1+k{\mathbf{b}}_2+l{\mathbf{b}}_3$$

に対応し、面の法線方向を表す（一般の結晶系で重要である）。回折条件は Bragg の式

$$2d\sin \theta =n\lambda$$

で与えられ、面間隔 $d$ は結晶系と $(hkl)$ に依存して決まる。立方晶では

$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$$

がよく用いられる。

一方、方向指数 $[uvw]$ は実格子ベクトル方向であり、長さや直交性は格子定数と結晶系に依存する。立方晶では扱いが単純になり、

• $(hkl)$ の法線は $[hkl]$ と平行
• 指数の入れ替え・符号反転が対称性で等価になりやすい

という性質が成立する。しかし、一般の結晶系では $(hkl)$ と $[hkl]$ を同一視すると誤りになる。

2.3 等価族の意味：$\{hkl\}$ と $⟨uvw⟩$

等価族は「対称性で見分けられない対象の集合」である。たとえば立方晶で $\{100\}$ は $(100),(010),(001)$ などを含む。方向も同様に $⟨111⟩$ は $[111],[\overline{1}11],[1\overline{1}1],\dots$ をまとめた表記である。

この族表記は以下の場面で効く。

• すべり系：面の族 $\{hkl\}$ と方向の族 $⟨uvw⟩$ の組で記す
  例：FCC の基本として $\{111\}⟨110⟩$、BCC の基本として $\{110\}⟨111⟩$ など
• 集合組織（texture）：板面と圧延方向を同時に指定する
  例：$\{hkl\}⟨uvw⟩$ の形で「面が材料法線に、方向が圧延方向に揃う」ような表現が現れる

2.4 六方晶の4指数表記：$(hkil)$ と $[uvtw]$

六方晶系では、対称性を反映して4指数で表す流儀が広く使われる。面指数は

$$(hkil),i=-(h+k)$$

方向指数は

$$[uvtw],t=-(u+v)$$

の制約を満たす。3指数に無理に押し込めるよりも、対称性と等価性が見通しよくなる。

2.5 誤りやすい点

1. $(hkl)$ と $[hkl]$ の同一視
   立方晶では見かけ上一致しやすいが、一般には別概念である。

2. $\{hkl\}$ と $(hkl)$ の混同
   前者は族、後者は1つの面である。すべり系や集合組織では族が本体になることが多い。

3. 指数の「最小整数」の約束を忘れる
   $[222]$ と $[111]$ は同一直線方向であるが、通常は最小整数比で表す。

3. 2種類の「ブラケット」を混同しないための対応表

文脈	代表記号	対象	基本の意味
Dirac 記法	$	\psi\rangle,\ \langle\phi	$
Dirac 記法	$\langle\phi	\psi\rangle$	内積
Dirac 記法	$\langle\psi	\hat	\psi\rangle$
結晶学	$(hkl),\{hkl\}$	面（族）	格子面・等価面
結晶学	$[uvw],⟨uvw⟩$	方向（族）	格子方向・等価方向

重要なのは、角括弧 $⟨⟩$ が「量子の内積・期待値」にも、「結晶方向の族」にも使われる点である。角括弧だけを見て意味を決めず、周囲の記号（$|⟩$ があるか、指数が整数列だけか、演算子 $\hat{A}$ が挟まるか）で判断するのがよい。

関連研究

1. Bra–ket notation（英語） https://en.wikipedia.org/wiki/Bra–ket_notation
2. Miller index（英語） https://en.wikipedia.org/wiki/Miller_index
3. Slip (materials science)（英語） https://en.wikipedia.org/wiki/Slip_(materials_science)

まとめ

ブラケット記法は、量子論では「状態・双対・内積・演算子」を線形代数として統一的に扱う言語であり、固体のバンド・射影・行列要素・応答理論まで同じ形で書ける強みをもつ。一方、結晶学では括弧の種類で「面・方向・等価族」を峻別し、回折や塑性、集合組織の議論を破綻なく進めるための表記体系である。両者は同じ括弧を用いても対象が異なるため、$|⟩$ の有無、指数の形、演算子の挿入の有無で意味を見分けるのが要点である。