Allen–Cahn 方程式に基づく金属組織シミュレーション

Allen–Cahn 方程式は「界面をぼかした連続場」で金属組織の時間発展を追う基礎式であり、粒成長・相変態・規則化の駆動力を同じ枠組みで扱えるのが強みである。自由エネルギーの勾配流として書けるため、モデルの拡張（化学自由エネルギー、弾性、結晶方位、異方性など）に一貫性がある。

参考ドキュメント

1. S. M. Allen and J. W. Cahn, A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening, Acta Metallurgica, 27 (1979) 1085–1095. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0001616079901962
2. I. Steinbach, A phase field concept for multiphase systems, Physica D: Nonlinear Phenomena, 94 (1996) 135–147. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0167278995002987
3. 小山敏幸, Phase-field法に関する最近の進展と今後の展望, まてりあ 42 (2003) 397. https://www.jstage.jst.go.jp/article/materia1994/42/5/42_5_397/_pdf

1. 何を Allen–Cahn で解くのか

Allen–Cahn は「非保存量」の秩序変数（order parameter）φの緩和を記述する。金属組織では、例えば次のような $\phi$ を置くのが典型である。

• 相の状態（$\alpha /\gamma$、固相/液相、析出相/母相など）：$\phi =0$ と $\phi =1$ を相に対応させる
• 規則・不規則（$B2$、$L1₂$ など）：長距離秩序の強さを φ で表す
• 多結晶粒（粒 $i$ の占有率）：$\text{{η\_i}$} を用い、各点でどの粒に属するかを連続的に表す
• 変形・再結晶の進行度：蓄積ひずみエネルギーを駆動力として $\phi$ を進める

保存量（溶質濃度 $c$ など）は Cahn–Hilliard 方程式に担わせ、非保存量（界面の位相、規則度、粒の占有）は Allen–Cahn に担わせる、という役割分担が基本である。

2. 自由エネルギーの勾配流としての Allen–Cahn

秩序変数 $\phi$ に対する自由エネルギー汎関数を

$$F[\varphi ]={\int }_{\mathrm{\Omega }}(f(\varphi ,\mathbf{x};T,c,\dots )+\frac{\kappa }{2}|\mathrm{\nabla }\varphi {|}^2)dV$$

とする。ここで $f$ は局所自由エネルギー密度、$\kappa$ は勾配エネルギー係数である。

Allen–Cahn 方程式は

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=-L\frac{\delta F}{\delta \varphi }$$

で与えられ、汎関数微分より

$$\frac{\delta F}{\delta \varphi }=\frac{\partial f}{\partial \varphi }-\kappa {\mathrm{\nabla }}^2\varphi$$

なので

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=-L(\frac{\partial f}{\partial \varphi }-\kappa {\mathrm{\nabla }}^2\varphi )$$

となる。$L$ は緩和係数（モビリティに相当）である。

この形の重要点は、適切な境界条件（例：Neumann 境界で $\nabla \phi ·n=0$）を置けば

$$\frac{dF}{dt}=-{\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{1}{L}{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right)}^{2}dV\le 0$$

が成り立ち、数値解が物理的に「自由エネルギーを下げる方向」に進む構造が明確であることである。

3. 金属組織に効く自由エネルギー設計

3.1 二相モデル（相変態・析出・規則化）

二つの安定相を持つために、ダブルウェル（例：${\phi }^2(1-\phi {)}^2$）を用いる。

$$f(\varphi )=W{\varphi }^2(1-\varphi {)}^2+h(\varphi )\mathrm{\Delta }g(\mathbf{x},T,c,\sigma ,\dots )$$

• $W$：エネルギー障壁（界面の鋭さや界面エネルギーに効く）
• h$(\phi )$：相補間関数（例：$h(\varphi )={\varphi }^3(6{\varphi }^2-15\varphi +10)$ など）
• $\Delta g$：相間の自由エネルギー差（化学駆動力、応力場、磁場、蓄積ひずみエネルギーなどを含められる）

このとき、$\kappa$ と $W$ により拡散界面の厚み $\delta$ と界面エネルギー $\sigma$ が決まる。一般に 1 次元平衡界面では

$$\sigma ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\kappa }{2}{\left(\frac{d\varphi }{dx}\right)}^2+f(\varphi ))dx={\int }_{\varphi =0}^1\sqrt{2\kappa f(\varphi )}d\varphi$$

の関係が使える。$\delta$ を厚くしすぎると界面物理がぼやけ、薄くしすぎると格子解像度が足りなくなるため、$\delta$ と格子幅 $\Delta x$ の比（例：$\delta$ が 5–10 格子点で解像されるか）を設計指標にする。

3.2 多結晶の粒成長：多相・多秩序変数（multi-phase-field）

$N$ 個の粒を秩序変数 ${\eta }_i(i=1..N)$で表し、各点で

$$\sum _{i=1}^N{\eta }_i=1,0\le {\eta }_i\le 1$$

を課すモデルが多い。自由エネルギーの一例は

$$F[\{{\eta }_i\}]={\int }_{\mathrm{\Omega }}\left(\sum _{i<j}[W_{ij}{\eta }_i^2{\eta }_j^2+\frac{{\kappa }_{ij}}{2}|{\eta }_i\mathrm{\nabla }{\eta }_j-{\eta }_j\mathrm{\nabla }{\eta }_i{|}^2]\right)dV$$

であり、時間発展は制約付きの Allen–Cahn 型になる（ラグランジュ未定乗数 $\lambda$ を用いて）

$$\frac{\partial {\eta }_i}{\partial t}=-L_i(\frac{\delta F}{\delta {\eta }_i}-\lambda )$$

と書ける。粒界エネルギー σ_ij、粒界モビリティ $M_{i}j$ を $(W_{i}j,{\kappa }_{i}j,L_i)$ に対応付けることで、曲率駆動の粒界移動、三重点の力学、粒成長則（平均粒径の時間スケーリング）を再現できる。

蓄積ひずみエネルギー $E_{store}$ を組み込みたい場合、再結晶の「新粒が低エネルギーで広がる」駆動力として

$$f\leftarrow f+h(\{{\eta }_i\})E_{\mathrm{store}}(\mathbf{x},t)$$

のように追加し、$E_{store}$ は結晶塑性や実験推定場から与える、というカップリングが考えられる。

3.3 結晶方位を場で持つ：orientation-field（KWC 系など）

粒占有 ${\eta }_i$ を増やさずに、方位角 $\theta$（3D では回転表現）を連続場として持たせ、粒界を「$\theta$ の急変領域」として表現する枠組みがある。典型的には

• 粒界でのみ $\theta$ の勾配エネルギーが効くように、$\phi$（または粒界指標場）と結合させる
• 粒界エネルギーの方位差依存（Read–Shockley 型など）を自由エネルギーに反映する

この系では $\theta$ に対する式も勾配流になるが、特異拡散（singular diffusivity）を含む形になり得るため、数値実装では安定性と正則化が重要になる。

4. Allen–Cahn と金属組織

4.1 粒成長（grain growth）

• 駆動力：粒界曲率による界面エネルギー低下
• 実装：多相 ${\eta }_i$ もしくは 方位場 $\theta$
• 出力：平均粒径、粒径分布、三重点角度、粒界エネルギー総量の減少

4.2 固相変態・析出（$\alpha /\gamma$、析出相の成長）

• 駆動力：化学自由エネルギー差 Δg、弾性ミスフィット、界面エネルギー
• 実装：相場 $\phi$（Allen–Cahn）＋ 濃度 $c$（Cahn–Hilliard）
• 出力：体積分率、形態（板状・球状）、成長速度、時効硬化などの指標

4.3 規則化・逆位相ドメイン（APB coarsening）

• 駆動力：規則度の回復（秩序パラメータ）、逆位相境界の界面エネルギー
• 実装：規則度 $\phi$ の Allen–Cahn（場合により複数秩序変数）
• 出力：ドメインサイズ、APB 面積密度、粗大化則

5. 数値解法の安定性・収束・スケール

5.1 空間離散：FDM / FEM / スペクトル法

• FDM：実装が軽い。規則格子に強い。複雑形状や適応メッシュは苦手になりやすい
• FEM：複雑形状・境界・不均一メッシュ・適応化に強い。大規模計算でのソルバ選択が鍵になる
• スペクトル法：周期境界と整形領域で高精度。FFT と相性が良い

5.2 時間積分：エネルギー減少構造を壊さない

Allen–Cahn は反応拡散型であり、非線形項の扱いによって安定性条件が変わる。代表的な考え方は次の通りである。

• 陽解法：単純だが $\Delta t$ が厳しく小さくなりやすい
• 半陰解法：拡散項を陰的にして安定性を改善する
• 逐次線形化：非線形を Newton などで解く（反復回数とコストが増える）
• エネルギー安定化（convex splitting 等）：自由エネルギーの凸・凹分解で、離散化後も $F$ が単調減少するよう設計する

5.3 代表的な設定指針

• 界面幅 δ：少なくとも数格子点で解像（例：5–10 点）
• Δt：まずエネルギー $F(t)$ が非増加となる範囲を探索し、収束試験（$\Delta x$ と $\Delta t$）を行う
• 初期条件：ノイズの与え方で核生成挙動が変わるため、目的に応じて統一する
• 境界条件：周期境界は統計量評価に便利、Neumann 境界は孤立系近似に便利

6. 解析・可視化で見るべき量

• 自由エネルギー $F(t)$ とその内訳（局所項、勾配項、弾性項など）
• 相分率・秩序度の時間発展（Avrami 型の整理ができる場合がある）
• 粒径分布、粒界長/面積密度、ミスオリエンテーション分布
• 速度場（必要なら）：界面法線速度 $V_n$ を等値面追跡で評価する

7. 公開実装・計算基盤の選択肢

Allen–Cahn を含むフェーズフィールドは、自由エネルギーを書くと方程式が決まるという構造が明確なため、汎用フレームワークと相性が良い。

• MOOSE Phase Field：FEM ベースで Allen–Cahn / Cahn–Hilliard を体系化している
• PRISMS-PF：大規模並列を意識したフレームワークとして整備されている
• FiPy：教育・検証・試作に適した PDE 解析環境として例題が豊富である
• NIST の Phase-Field Recommended Practices：検証、数値実装、問題設定の勘所を整理している

自作コードで最初に固めるべきは、(i) エネルギー単調減少の検証、(ii) 収束試験、(iii) 物理量へのキャリブレーション方針（$\sigma$、$M$、熱力学データ、弾性定数など）である。

8. よくある落とし穴

• 界面幅 $\delta$ を変えると結果が変わる：薄界面極限・定量モデル・パラメータ再調整が必要である
• 粒数 $N$ が大きい ${\eta }_i$ モデルはメモリと計算量が増える：方位場モデルや粒のリマッピングなどが検討対象となる
• 方位場（KWC 系）は特異項が数値的に効く：正則化と安定化が不可欠である
• 濃度場と結合すると時間スケールが硬くなる：陰解法や分割法、前処理付き反復法が重要である

まとめ

Allen–Cahn 型フェーズフィールドは、金属組織の「界面が動いて形が変わる」問題を自由エネルギーに基づいて統一的に記述できる枠組みである。粒成長・相変態・規則化を同じ方程式骨格で扱える一方、界面幅の解像、エネルギー減少構造を保つ離散化、物理量（界面エネルギー・モビリティ）への対応付けが結果を支配するため、検証とキャリブレーションを設計の中心に据えるべきである。