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スペクトル解析入門 ​

参考ドキュメント ​

概要（材料研究で「スペクトル解析」が効く場面） ​

スペクトル解析は、時間/空間データを周波数（または波数）成分に分解し、周期性・緩和時間・ノイズ特性・支配モードを定量化するための手法です。

材料科学では例えば：

  • 磁気ノイズ（MBN, 1/fノイズなど）：周波数帯ごとの揺らぎ強度、緩和時間の推定
  • MD揺らぎ：速度自己相関 → 振動スペクトル（vDOS相当）、拡散・緩和評価
  • XAFS/EXAFS：χ(k) を R空間へ（局所構造の可視化・フィッティング）
  • 全散乱/PDF：S(Q) を r空間へ（短・中距離秩序の評価）
  • LLG/フェーズフィールド：モード分解、共鳴・固有振動の抽出

1. まず押さえる：サンプリングとナイキスト（aliasing） ​

実験やシミュレーションの「時系列」x[n] はサンプリング周波数 fs [Hz] で取得されます。

  • ナイキスト周波数：
    [ f_\mathrm{N} = \frac{f_s}{2} ]
  • 重要： 信号に (f_\mathrm{N}) を超える成分があると、低周波に折り返して見える（エイリアシング）
    → 計測では アンチエイリアス（ローパス）を前提に考えます。

2. フーリエ変換（FT）/ 離散フーリエ変換（DFT）/ FFT ​

2.1 連続フーリエ変換（概念） ​

[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t), e^{-2\pi i f t}, dt ]

2.2 離散フーリエ変換（DFT） ​

長さ N の離散信号 (x_n) に対して [ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n, e^{-2\pi i kn/N} \quad (k=0,\dots,N-1) ]

2.3 FFT ​

FFTはDFTを高速に計算するアルゴリズム。

周波数分解能（目安） ​

測定時間 (T=N/f_s) とすると、周波数刻みは概ね [ \Delta f \approx \frac{1}{T}=\frac{f_s}{N} ] ※「ゼロ埋め（zero padding）」は表示の周波数刻みを細かく見せることはできますが、物理的な分解能自体（Δf）を改善するものではありません。

3. スペクトルとPSD（パワースペクトル密度） ​

3.1 何が欲しいのか？ ​

  • 「この信号の強度（分散・エネルギー）は、どの周波数帯に分布しているか？」
  • 実験データの雑音解析や、揺らぎのモデル化（例：白色ノイズ、1/fノイズ）で重要

3.2 PSDの単位 ​

信号 x が [V] のような単位を持つとき、PSDは通常

  • PSD（density）： [V²/Hz]
  • Power spectrum（spectrum）： [V²]（周波数で積分して全パワーになるイメージ）

SciPy等のツールでは scaling='density' / 'spectrum' を明示する必要があります。

3.3 Welch法 ​

有限長データの単純なFFT（periodogram）はばらつきが大きくなりがちです。
Welch法は「区間に分割 → 窓を掛けてFFT → 平均化」でPSD推定の分散を下げます。

  • 実務の初期値の目安：window='hann', noverlap ≈ nperseg/2

4. 有限長データの落とし穴：スペクトルリークと窓関数 ​

FFTは有限区間のデータを「周期信号の1周期」とみなすため、区間端で不連続があると、存在しない高周波成分が混入します。

  • これがスペクトルリーク（spectral leakage）
  • さらに、リーク由来の成分はナイキストを超えると折り返して見え、解釈を誤ります

4.1 窓関数の役割 ​

窓関数は区間端の不連続を弱め、リークを抑制します（ただし分解能とトレードオフ）。

代表的な選び方（目安）：

窓特徴向いている場面
矩形（窓なし）分解能は良いがリークが大きい信号が区間内で「整数周期」になると確信できるとき
Hann（Hanning）万能型。実務のデフォルトにしやすい多くの場合のPSD、一般計測のFFT
Hamming近傍のリークを抑えたい近接ピークの判別を少し良くしたい
Blackman等リーク抑制が強い（分解能は悪化しやすい）強いピークの近くに弱いピークがある
Flattop振幅精度を重視（主ローブが広い）「ピークの高さ（RMS等）」を測りたい

5. 時間周波数解析：STFT / スペクトログラム / ウェーブレット ​

5.1 STFT（短時間フーリエ変換） ​

信号を短い窓で区切ってFFTし、時間変化する周波数成分を見ます。

  • スペクトログラムは「STFTの絶対値二乗」を可視化したもの： [ \mathrm{Spectrogram}(t,f)=|X_\mathrm{STFT}(t,f)|^2 ]

5.2 ウェーブレット（多重解像度） ​

低周波は長い時間窓、高周波は短い時間窓、のように解析解像度を自動的に変えられます。

  • EXAFSでは k–R を同時に可視化でき、重なった寄与の分離に有効な場合があります。

6. 自己相関とスペクトル（“揺らぎ”解析の芯） ​

定常過程では、自己相関関数 (R(\tau)) とPSD (S(f)) はフーリエ対になります（Wiener–Khinchin の関係）： [ S(f) = \mathcal{F}{R(\tau)} ]

MDでの代表例 ​

  • 速度自己相関（VACF）のフーリエ変換 → 振動スペクトル（vDOS相当）
  • 拡散係数や粘性など、Green–Kubo型の評価へ発展（別ページ推奨）

7. 材料データで頻出の「フーリエ解析」3選（混同注意） ​

7.1 EXAFS（XAFS） ​

  • 典型フロー：正規化 → 背景除去 → χ(k) → χ(k)のフーリエ変換で R空間へ
  • 注意：|χ(R)| のピーク位置は「そのまま原子間距離」ではなく、位相シフト等でずれます（“見かけの距離”）。

7.2 全散乱/PDF（Pair Distribution Function） ​

全散乱の構造因子 S(Q) から、実空間のG(r) を得ます（代表式）： [ G(r)=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{Q_\mathrm{max}} Q,[S(Q)-1]\sin(Qr), dQ ]

  • (Q_\mathrm{max}) が大きいほど r空間分解能が上がる（目安：(\Delta r \sim \pi/Q_\mathrm{max})）

7.3 MD（フォノン/振動） ​

  • VACFのFTで「振動のパワースペクトル（vDOS相当）」を得る流れが定番
  • 実際には有限サイズ・有限時間・温度効果・ポテンシャル依存性に注意

8.　分析手順 ​

  1. fs（サンプリング周波数）と計測時間Tを確認（ナイキスト・Δf）
  2. 前処理：オフセット除去（detrend）、外れ値/欠損、必要ならフィルタ（※過剰にやらない）
  3. 目的で手法を選ぶ
    • 「定常」→ WelchでPSD
    • 「非定常」→ spectrogram/STFT
    • 「局所的イベント」→ wavelet も検討
  4. 窓関数とセグメント長を決める（リーク vs 分解能）
  5. ピーク/帯域/傾き（1/fなど）を評価し、物理モデルに戻す
  6. 再現性：パラメータ（窓、nperseg、overlap、scaling、前処理）を必ず記録

9. Python（SciPy）による一例 ​

python
import numpy as np
from scipy import signal

# x: 時系列（1D numpy array）, fs: サンプリング周波数[Hz]
f, Pxx = signal.welch(
    x, fs=fs,
    window="hann",
    nperseg=2048,
    noverlap=1024,
    scaling="density"   # PSD（単位: x^2/Hz）
)

# 非定常：スペクトログラム（時間×周波数）
f2, t2, Sxx = signal.spectrogram(
    x, fs=fs,
    window="hann",
    nperseg=2048,
    noverlap=1024,
    scaling="density",
    mode="psd"
)

10. よくある誤解 ​

  • 「FFTしたピーク＝そのまま物理モード」とは限らない → 前処理、窓、分解能、リーク、位相補正（EXAFS）、Qmax（PDF）などで見え方が変わる

  • 「相関がある＝因果」ではない（スペクトルでも同じ） → 追加実験・モデル比較で詰める

  • 「ゼロ埋めで分解能が上がる」は誤解 → 表示が滑らかになるだけで、独立な情報は増えない

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