LLG方程式にもとづくマイクロ磁化シミュレーション

マイクロ磁化シミュレーションは、磁化ベクトル場の時間発展をLLG方程式で追跡し、磁区・磁壁・渦構造・スピンダイナミクスを定量化する手法である。材料定数と形状・欠陥・界面効果を入力として、ヒステリシス、共鳴、デピニングなどの現象を同一の方程式系で扱える点が核となる。

参考ドキュメント

• Vansteenkiste et al., The design and verification of MuMax3, AIP Advances 4, 107133 (2014) https://pubs.aip.org/aip/adv/article/4/10/107133/584191/The-design-and-verification-of-MuMax3
• NIST, OOMMF User’s Guide（公開ドキュメント） https://math.nist.gov/oommf/doc/userguide21a0/userguidexml/userguide.html
• 田中智大, 大規模マイクロマグネティックシミュレーションを用いた永久磁石…, まてりあ/関連誌（J-STAGE, 2023） https://www.jstage.jst.go.jp/article/jinstmet/87/5/87_JA202203/_html/-char/ja

1. マイクロ磁気学（micromagnetics）の前提

1.1 連続体近似

原子スピンを直接扱うのではなく、空間座標 $r$ と時刻 $t$ に依存する磁化 $ \mathbf{M}(\mathbf{r},t)$ を連続場として扱う近似である。通常、飽和磁化 $M_s$ を用いて $\mathbf{m}=\mathbf{M}/M_s$ と正規化し、$|\mathbf{m}|=1$ を拘束条件として課す。

この近似が成立するためには、セルサイズ（空間離散化の最小単位）が交換相互作用で決まる代表長さ（交換長）より十分小さいことが望ましい。

1.2 何を予測する計算か

• 磁区・磁壁・渦（vortex）・スキルミオンなどの準静的構造（平衡解）
• 外部磁場・電流・温度ゆらぎ下での動的応答（歳差運動、緩和、反転、共鳴）
• 形状（反磁界）や界面（DMI、界面異方性）による有効磁気異方性の出現
• 多結晶・欠陥・粒界を含むモデルにおける局所的な反転核生成やデピニング

2. LLG方程式：歳差運動と減衰

2.1 Gilbert形

代表的な形は次である。

$$\frac{d\mathbf{m}}{dt}=-\gamma {\mu }_0\mathbf{m}\times {\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}+\alpha \mathbf{m}\times \frac{d\mathbf{m}}{dt}$$

• $\gamma$：ジャイロ磁気比（符号規約に注意が必要である）
• ${\mu }_0$：真空透磁率
• $\alpha$：Gilbert減衰定数（無次元）
• ${\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}$：実効磁界（有効磁界）

数値積分では、右辺に $d\mathbf{m}/dt$ が含まれるため、陽的に解いた形（Landau–Lifshitz形に等価変形した形）を使うことが多い。

2.2 Landau–Lifshitz形（陽的に書く例）

Gilbert形を代数的に整理すると、（規約に依存するが）概念的には

$$\frac{d\mathbf{m}}{dt}=-\frac{\gamma {\mu }_0}{1+{\alpha }^2}[\mathbf{m}\times {\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}+\alpha \mathbf{m}\times (\mathbf{m}\times {\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}})]$$

となり、第一項が歳差運動、第二項がエネルギーを減らす向きの緩和（減衰）を表す。

2.3 磁化の制約：$|\mathbf{m}|=1$

LLGの連続方程式は本質的に磁化の大きさを保存するが、数値積分では誤差により $|\mathbf{m}|$ がずれる。多くの実装は

• $|\mathbf{m}|$ の正規化（renormalization）
• 球面上の幾何学的積分（制約付き積分） により制約の破れを抑制する。

3. 実効磁界：エネルギー汎関数からの導出

マイクロ磁気学では、実効磁界は全エネルギー汎関数 $E[\mathbf{m}]$ の汎関数微分として与えられる。

$${\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})=-\frac{1}{{\mu }_0{M}_s}\frac{\delta E}{\delta \mathbf{m}(\mathbf{r})}$$

よって、どの物理を入れるかは $E$ の項の選択に対応する。

4. エネルギー項の典型と式

以下では代表的な項を列挙する。離散化と境界条件によって表式や係数の扱いが変わるため、実装ごとの定義確認が必要である。

4.1 交換エネルギー（exchange）

$$E_{\mathrm{ex}}={\int }_{\mathrm{\Omega }}A|\mathrm{\nabla }\mathbf{m}{|}^{2}dV$$

• $A$：交換剛性 局所的に磁化が急激に変化するとエネルギーが増えるため、磁壁幅や渦芯サイズを決める主因である。

4.2 結晶磁気異方性（magnetocrystalline anisotropy）

一軸異方性の例：

$$E_{\mathrm{ani}}={\int }_{\mathrm{\Omega }}{K}_u(1-(\mathbf{m}\cdot {\mathbf{e}}_u{)}^2)dV$$

• $K_u$：一軸異方性定数
• ${\mathbf{e}}_u$：易磁化軸方向

立方異方性、面内異方性、界面異方性などへ拡張される。

4.3 ゼーマンエネルギー（外部磁場）

$$E_{\mathrm{Z}}=-{\mu }_0{M}_s{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathbf{H}}_{\mathrm{ext}}\cdot \mathbf{m}dV$$

4.4 静磁エネルギー（反磁界・磁化自己相互作用）

$$E_{\mathrm{d}}=-\frac{{\mu }_0{M}_s}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathbf{H}}_{\mathrm{d}}\cdot \mathbf{m}dV$$

反磁界 ${\mathbf{H}}_{\mathrm{d}}$ は磁化分布全体に依存する長距離相互作用であり、計算コストと境界処理を支配する。有限差分では畳み込みをFFTで高速化する実装が多い。

4.5 DMI（Dzyaloshinskii–Moriya interaction）

界面DMIの一例（表式は規約が複数ある）：

$$E_{\mathrm{DMI}}={\int }_{\mathrm{\Omega }}D[m_z(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{m})-(\mathbf{m}\cdot \mathrm{\nabla })m_z]dV$$

• $D$：DMI定数 Néel型スキルミオンやキラル磁壁の安定化に関与する。

4.6 磁歪・磁気弾性（magnetoelastic）

応力場やひずみ場と結合する形で

$$E_{\mathrm{me}}={\int }_{\mathrm{\Omega }}f(\mathbf{m},{\epsilon }_{ij})dV$$

と書かれ、弾性場（力学）とLLGを連成させると、磁区形成と応力の相互作用を扱える。連成の仕方は解析目的に強く依存する。

5. 代表長さとメッシュ設計：交換長・磁壁幅

5.1 交換長

典型的には磁化の空間変化と静磁相互作用の競合から交換長（exchange length） $l_{\mathrm{ex}}$ を定義する。

$$l_{\mathrm{ex}}=\sqrt{\frac{2A}{{\mu }_0{M}_s^2}}$$

この長さスケール程度で磁化は滑らかに変化するため、セルサイズ $\mathrm{\Delta }$ は $\mathrm{\Delta }\lesssim l_{\mathrm{ex}}$（より保守的には $l_{\mathrm{ex}}/2$ 程度） を目安として設定されることが多い。

5.2 離散化手法の選択

方式	代表例	長所	注意点
有限差分（直交格子）	OOMMF, MuMax3	FFTによる反磁界高速化、実装が比較的単純	曲面・複雑形状の表現が格子に制限される
有限要素（非構造格子）	各種FEMコード	複雑形状・曲面・多結晶形状に強い	反磁界計算・メッシュ生成・計算コストが重くなりやすい

6. 時間積分（ODEとしてのLLG）と数値安定性

6.1 LLGは剛性を持ちうる

交換項は空間高周波成分（短波長）に強く働くため、細かいメッシュほど時間積分が剛性化しやすい。剛性が強い場合、陽的スキームでの安定条件が厳しくなる。

6.2 代表的な積分戦略

• 陽的Runge–Kutta系（実装容易、安定条件が支配的）
• 半陰/陰的手法（剛性への耐性、各ステップで反復解法が必要なことがある）
• 適応刻み（局所誤差制御により、歳差運動が激しい領域で刻みを自動縮小する）

6.3 平衡状態の計算

LLGの高減衰（大きな $\alpha$）で緩和させる方法は、エネルギー最小化の近似として使われることがある。一方で、より直接に

• エネルギー勾配に基づく最適化
• 非線形共役勾配法 などで平衡解を求める流れもある（目的が準静的磁化過程である場合に相性がよい）。

7. 熱ゆらぎ（stochastic LLG）

有限温度では、熱揺らぎをランダム磁界 ${\mathbf{H}}_{\mathrm{th}}$ として実効磁界に加える。

$${\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}\to {\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}+{\mathbf{H}}_{\mathrm{th}}(t)$$

連続時間では白色雑音として相関

$$⟨H_{\mathrm{th},i}(t)H_{\mathrm{th},j}(t^{\prime })⟩\propto {\delta }_{ij}\delta (t-t^{\prime })$$

を持つよう設定され、離散時間ではセル体積 $V$ と時間刻み $\mathrm{\Delta }t$ に依存した分散で乱数を生成する。温度を入れる計算では、時間刻み依存性や統計量の収束（アンサンブル平均）が重要になる。

8. 電流・スピントルク項

磁性体への電流注入やスピン流により、追加トルク項を含む拡張LLGが用いられる。

8.1 Zhang–Li型（移流形）

$${\frac{d\mathbf{m}}{dt}|}_{\mathrm{STT}}=-(\mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{m}+\beta \mathbf{m}\times (\mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{m}$$

• $\mathbf{u}$：スピンドリフト速度（電流密度や分極率に依存）
• $\beta$：非断熱パラメータ

8.2 Slonczewski型（固定分極方向 p を仮定）

$${\frac{d\mathbf{m}}{dt}|}_{\mathrm{SOT}/\mathrm{STT}}=a_J\mathbf{m}\times (\mathbf{m}\times \mathbf{p})+b_J\mathbf{m}\times \mathbf{p}$$

界面スピン軌道トルク（SOT）では、有効分極方向の取り方や電流分布モデルが鍵になる。

9. 反磁界計算と境界条件

9.1 反磁界（長距離相互作用）の計算

反磁界はポアソン型問題や畳み込みとして表現され、有限差分ではFFT畳み込みで高速化されることが多い。周期境界条件（PBC）を入れる場合、反磁界の取り扱いが変わるため、実装が想定する“周期性”の次元（1D/2D/3D周期）を確認する必要がある。

9.2 境界条件の例

• 交換境界：自由境界（法線方向勾配ゼロ）や固定境界（表面スピン固定）
• DMI境界：界面DMIでは自然境界条件が磁壁の巻き方に影響する
• 磁性/非磁性界面：$M_s$ や $A$ の不連続をどう扱うか（格子・要素の物性割当て）が重要である

10. 出力と解析

10.1 典型出力

• $\mathbf{m}(\mathbf{r},t)$ のスナップショット、動画
• 全磁化 $⟨\mathbf{M}⟩(t)$ とヒステリシス $M(H)$
• エネルギー各項 $E_{\mathrm{ex}},E_{\mathrm{ani}},E_{\mathrm{d}},E_{\mathrm{Z}},...$ の時間変化
• トポロジカル量（スキルミオン数など、定義は離散化に依存）

10.2 周波数解析（共鳴・スピン波）

パルス磁場を与えて $⟨m_x⟩(t)$ を取得し、FFTでスペクトルを得ると、FMRやモード分解が可能である。空間FFTと組み合わせると分散関係の推定もできる。

11. 標準問題

マイクロ磁化コードは、反磁界・交換・境界条件・時間積分など複数要素が絡むため、既知の標準問題での検証が重要である。

• μMAG標準問題：同一の幾何・材料定数・磁場条件に対し、複数コードで時系列や最終状態を比較する枠組みである
• 標準問題#4：薄膜長方形の反転ダイナミクスを比較する動的問題であり、時間発展の差が出やすい

数値条件（セルサイズ、時間刻み、収束判定）により結果が変わりうるため、再現性のための条件記録が必須である。

12. 代表的ソフトウェア

ソフトウェア	離散化	特徴	向きやすい題材
OOMMF	有限差分	公開ドキュメントが充実、古典的ベンチマークが多い	基本検証、標準問題、2D/薄膜系
MuMax3	有限差分（GPU）	GPU+FFTで大規模・高速、動的問題に強い	大面積薄膜、スキルミオン、SOT/STT、時間発展
FEM系コード	有限要素	曲面・複雑形状・多結晶形状への適合	永久磁石粒界、複雑形状デバイス

国内文献でも、差分法としてOOMMFやMuMax系、有限要素法として各種CAEが言及されており、目的に応じた選択が推奨される。

13. 典型ワークフロー

1. 目的の明確化（準静的か動的か、熱ゆらぎや電流を入れるか）
2. 形状とスケール設定（厚さ、エッジ、粒界、欠陥、周期性）
3. 材料パラメータ設定（$M_s,A,K,\alpha$、必要ならDMI・界面異方性・交換結合など）
4. メッシュ設計（交換長に基づくセルサイズ、形状表現の妥当性）
5. 初期状態の生成（飽和状態、ランダム、既知磁区からの緩和）
6. 緩和計算（平衡状態の取得）と、その後の外場掃引・パルス印加・電流印加
7. 可視化と診断（エネルギー収支、磁化保存、反転経路、統計量）
8. 標準問題や他コードとの比較による検証

14. 注意点

• セルサイズが大きすぎて磁壁が解像できない（見かけ上のピン止めが発生する）
• 単位系の混在（A/m、T、J/m3、erg/cm3など）
• 反磁界の境界条件（PBCの次元、自由空間の扱い）を誤る
• 時間刻みが粗く、歳差運動が数値的に過減衰・過振動になる
• 減衰定数を目的（準静的/動的）に合わない値で固定し、解釈が揺れる
• 温度項を入れたのにアンサンブル平均を取らず、単一軌道で議論する

まとめ

LLG方程式にもとづくマイクロ磁化シミュレーションは、エネルギー汎関数から実効磁界を導き、磁化ベクトル場の拘束つき時間発展として解く枠組みである。計算の成否は、エネルギー項の選択、交換長にもとづくメッシュ設計、反磁界計算、時間積分の安定性、標準問題による検証という一連の整合性に依存する。