原子論的スピンモデル（ASM）

原子論的スピンモデル（Atomistic Spin Model; ASM）は、原子サイト上の局在磁気モーメント（古典スピン）を自由度として、交換相互作用・異方性・DMIなどの磁気相互作用をスピン・ハミルトニアンで記述し、温度依存の磁性や磁化ダイナミクスを計算する枠組みである。第一原理計算で得た相互作用パラメータを用いて、電子論とマイクロマグネティクスの間をつなぐ多階層モデルとして使われることが多い。

参考ドキュメント

• R. F. L. Evans et al., Atomistic spin model simulations of magnetic nanomaterials, J. Phys.: Condens. Matter 26, 103202 (2014) https://shura.shu.ac.uk/15280/
• UppASD Manual (Introduction / Theoretical overview) https://uppasd.github.io/UppASD-manual/introduction/
• 西野正理, 原子論的スピンモデルによる永久磁石の磁気特性の研究（日本語, J-STAGE） https://www.jstage.jst.go.jp/article/jinstmet/87/5/87_JA202202/_html/-char/ja

1. 位置づけ

磁性材料の理論・計算には代表的に次の階層がある。

• 第一原理（DFT）：電子状態・相互作用の起源を扱えるが、有限温度・大規模時空間スケールは重い
• マイクロマグネティクス：連続体の磁化場 $m(r)$ を扱い、粒界や形状を含む大規模系に強いが、原子レベルの不均一性や相互作用の局所性は粗視化される
• 原子論的スピンモデル：原子スケールの交換・異方性・DMI・欠陥・界面効果を保持しつつ、温度・熱揺らぎ・非平衡ダイナミクスを扱える

材料科学では、永久磁石の保磁力の温度効果、界面DMI起源のスキルミオン、反強磁性体の高速ダイナミクス、合金・欠陥による局所相互作用の乱れなど、原子スケールの情報が支配的な問題に効く枠組みである。

2. 基本の数理：スピン・ハミルトニアン

各サイト $i$ に単位ベクトルスピン $s_i$（$|s_i|=1$）と磁気モーメント ${\mu }_i$ を割り当て、エネルギーをスピンの自由度で定義する。

典型的な拡張Heisenberg型は次で与えられる。

$$\mathcal{H}=-\sum _{i<j}{J}_{ij}{\mathbf{s}}_i\cdot {\mathbf{s}}_j-\sum _{i<j}{\mathbf{D}}_{ij}\cdot ({\mathbf{s}}_i\times {\mathbf{s}}_j)-\sum _i{K}_i({\mathbf{s}}_i\cdot {\mathbf{e}}_i{)}^2-\sum _i{\mu }_i{\mathbf{B}}_{\mathrm{ext}}\cdot {\mathbf{s}}_i+{\mathcal{H}}_{\mathrm{dip}}+\cdots$$

ここで、

• $J_{ij}$：交換相互作用（強磁性・反強磁性の本体）
• $D_{ij}$：Dzyaloshinskii–Moriya相互作用（スキルミオン等のねじれを誘起）
• $K_i,e_i$：単イオン異方性と容易軸
• $B_{ext}$：外部磁場
• $H_{dip}$：双極子相互作用（形状効果・磁区の長距離相互作用）

材料への写像では、合金・欠陥・界面で $J_{ij},K_i,D_{ij}$ をサイト依存にして「不均一性そのもの」をモデルに入れる設計が多い。

3. ダイナミクス：確率付きLLG（stochastic LLG）

非平衡応答や磁化反転、スピン波などを扱うには、各スピンの運動方程式を解く。原子論的スピンダイナミクスでは確率項（熱浴）を含むLLGが標準的である。

$$\frac{d{\mathbf{s}}_i}{dt}=-\frac{\gamma }{1+{\alpha }^2}[{\mathbf{s}}_i\times ({\mathbf{H}}_i^{\mathrm{eff}}+{\mathbf{h}}_i(t))+\alpha {\mathbf{s}}_i\times ({\mathbf{s}}_i\times ({\mathbf{H}}_i^{\mathrm{eff}}+{\mathbf{h}}_i(t)))]$$

有効磁場はハミルトニアンの勾配で定義される。

$${\mathbf{H}}_i^{\mathrm{eff}}=-\frac{1}{{\mu }_i}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial {\mathbf{s}}_i}$$

熱揺らぎ $h_i(t)$ はガウス白色雑音として与えることが多く、揺動散逸関係により温度 $T$ と減衰 $\alpha$ に整合するように設定される（実装により規約差があるため、使用コードの定義を確認するのが実務上重要である）。

4. 熱平衡・相転移：Monte Carlo（MC）と統計力学

平衡物性（$M(T),\chi (T),C(T),Tc$ など）や自由エネルギー差を主に見る場合、MCが有効である。目標は正準分布

$$P_{\mathrm{eq}}(i)=\frac{1}{Z}\exp (-\beta E(i)),\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T},Z=\sum _i\exp (-\beta E(i))$$

に従うスピン配置のサンプリングである。

実務では、

• 基底状態探索：低温でのMC（あるいはエネルギー最小化）
• Tc推定：有限サイズでのBinder cumulant、有限サイズスケーリング
• 温度依存保磁力：熱活性化による準安定状態崩壊を含む確率過程として扱う（永久磁石分野で重要である）

などの設計がよく行われる。

5. 第一原理との接続：パラメータ同定の考え方

原子論的スピンモデルの精度は、(i) ハミルトニアンの形、(ii) パラメータの同定、(iii) 温度・ダンピングなど有効量の扱いで決まる。

代表的な同定ルートは次である。

• DFT → $J_{ij},D_{ij},K_i$ を算出しスピン模型へ写像（例：交換はLiechtenstein型の規約で扱うことが多い）
• 実験（$T_c$、スピン波分散、異方性、磁化曲線）にフィットして有効パラメータを決める
• 合金・欠陥：局所環境ごとにパラメータを割り当てる（CPA/KKRや局所クラスターDFTなどと併用される）

注意点として、古典スピン模型の温度スケールと実材料の量子性（低温比熱やスピン量子数）にはズレが出るため、Tの再スケーリングや縦緩和を含む拡張（LLB等）が検討対象になることがある。

6. 代表的なソフトウェアと国内情報

原子論的スピンモデルは研究コミュニティで複数の実装が成熟している。代表例は以下である（例示であり、用途に応じて選ぶのがよい）。

表：よく使う実装と得意領域（例）

実装	代表機能	典型用途
VAMPIRE	原子論的スピンダイナミクス＋MC、合金・反強磁性など	ナノ粒子、記録媒体、温度効果、磁化反転
UppASD	ASD（LLG）＋MC、第一原理からの$J_{ij}$等の入力を意識	スピン波、動的構造因子、温度依存
Spirit	原子スピンダイナミクス、GUIや最適化・遷移探索	スキルミオン、エネルギー地形、NEB等
Sunny.jl	原子スケール磁性、散乱実験との比較に強い設計	$S(q,\omega )$の比較、量子寄り拡張

国内の入口としては、MateriApps（東大物性研）にVAMPIREやSunnyの国内向け解説ページがあり、導入時の見通しを付けやすい。

7. ユースケース

1. 永久磁石（保磁力・熱安定性）

• 粒界・界面・欠陥の局所交換/異方性の乱れを明示的に導入できる
• 熱活性化による反転確率の問題として、温度依存保磁力を議論できる

2. 薄膜・界面（DMI、スキルミオン）

• D_ij を導入し、スキルミオン安定条件や電流・磁場応答を調べる
• 連続体近似（マイクロマグ）で見えにくい原子層起源の効果を比較できる

3. 反強磁性体・フェリ磁性体（多サブラティス）

• サブラティス間交換を明示して高速ダイナミクスを扱える
• 温度で補償点が出る系は原子模型の方が設計しやすい

4. 実験との直接比較（散乱・分光）

• 動的スピン構造因子 S(q,ω) を計算し、中性子散乱やX線散乱と比較する流れが作れる

8. 注意点

• 規約：ハミルトニアンの符号、${\mu }_i$ を含めるか、$J_{ij}$ の定義など、コード間で規約が異なる
• 有限サイズ：$T_c$やドメイン形成はサイズ依存が大きい。PBC設定とサイズスケーリングが必要である
• 長距離相互作用：双極子項は計算が重く、近似や高速化手法が結果に効く
• 温度と時間：MCは平衡の統計であり「実時間」ではない。LLGは実時間を与えるが有効ダンピング・熱浴モデルの妥当性が鍵である
• パラメータの移植：DFTの0 Kパラメータをそのまま有限温度へ使うと齟齬が出る場合がある。何を再スケールしているかを明示すると議論が強くなる

まとめ

原子論的スピンモデルは、スピン・ハミルトニアンと確率付きLLG/MCにより、原子スケールの相互作用と熱揺らぎを保持したまま、磁性材料の温度依存物性や非平衡ダイナミクスを扱う枠組みである。材料科学では、永久磁石の温度効果、界面DMI、反強磁性体、欠陥・合金の不均一性など、微視的相互作用が支配する現象の解釈と設計指針の抽出に特に有効である。