弾塑性構成モデルの基本方程式

弾塑性モデルは、弾性変形と不可逆な塑性変形を分離し、荷重履歴に依存する応力–ひずみ応答を内部変数を通じて表現する枠組みである。降伏条件・流れ則・硬化則・応力更新アルゴリズムが基本骨格となる。

参考ドキュメント

• J.C. Simo, T.J.R. Hughes, Computational Inelasticity, Springer (1998) https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-3553-3
• R. de Borst, M.A. Crisfield, J.J.C. Remmers, C.V. Verhoosel, Nonlinear Finite Element Analysis of Solids and Structures, Wiley (2012) https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9781118375938
• [日本語] 東京大学（材料力学/塑性力学系）講義資料：塑性の基礎（降伏条件・流れ則・硬化） https://www.cem.t.u-tokyo.ac.jp/

1. 記号と前提

• 応力：$\mathit{\sigma }$
• 全ひずみ：$\mathit{\epsilon }$
• 弾性ひずみ：${\mathit{\epsilon }}^e$
• 塑性ひずみ：${\mathit{\epsilon }}^p$
• 弾性テンソル：$\mathbb{C}$
• 偏差応力：$\mathbf{s}=\mathit{\sigma }-\frac{1}{3}\mathrm{tr}(\mathit{\sigma })\mathbf{I}$
• 不変量：$I_1=\mathrm{tr}(\mathit{\sigma })$, $J_2=\frac{1}{2}\mathbf{s}:\mathbf{s}$

小ひずみ弾塑性では、ひずみの加算分解

$$\mathit{\epsilon }={\mathit{\epsilon }}^e+{\mathit{\epsilon }}^p$$

を採用する。

2. 自由エネルギーと散逸

内部変数 $\mathbf{a}$（等方硬化変数、背応力、損傷変数など）を導入し、自由エネルギー密度を

$$\psi =\psi ({\mathit{\epsilon }}^e,\mathbf{a})$$

とする。応力は

$$\mathit{\sigma }=\frac{\partial \psi }{\partial {\mathit{\epsilon }}^e}$$

で与えられる。

等温過程の散逸不等式（Clausius–Duhem）に基づき、散逸率 $D$ が

$$D=\mathit{\sigma }:\dot{\mathit{\epsilon }}-\dot{\psi }\ge 0$$

を満たすように塑性発展則を設計する。この条件は、流れ則と硬化則が非物理（負散逸）を生じないための出発点である。

3. 弾性則

等方線形弾性では

$$\mathit{\sigma }=\mathbb{C}:{\mathit{\epsilon }}^e=\mathbb{C}:(\mathit{\epsilon }-{\mathit{\epsilon }}^p)$$

であり、Lamé 定数 ${\lambda }_L,G$ を用いると

$$\mathit{\sigma }=2G{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{dev}}^e+{\lambda }_L\mathrm{tr}({\mathit{\epsilon }}^e)\mathbf{I}$$

である。$G$ はせん断弾性率である。

4. 降伏条件と塑性

降伏関数 $f$ を用いて

$$f(\mathit{\sigma },\mathbf{a})\le 0$$

を弾性域、$f=0$ を降伏面とする。代表例を挙げる。

4.1 von Mises（$J_2$）降伏

等方性金属で標準的な降伏条件は

$$f(\mathit{\sigma },\kappa )=\sqrt{\frac{3}{2}}\parallel \mathbf{s}\parallel -{\sigma }_y(\kappa )$$

である。$\kappa$ は等方硬化変数、${\sigma }_y(\kappa )$ は硬化により変化する降伏応力である。

4.2 圧力依存：Drucker–Prager 型

圧力依存性を表す一例として

$$f=\sqrt{J_2}+\alpha I_1-k$$

がある。粉体、地盤、脆性材料などで用いられる。

5. 流れ則：塑性ひずみ

塑性ひずみ速度を塑性ポテンシャル $g$ を用いて

$${\dot{\mathit{\epsilon }}}^p=\dot{\lambda }\frac{\partial g}{\partial \mathit{\sigma }}$$

とする。$\dot{\lambda }\ge 0$ は塑性乗数である。

• 関連流れ則：$g=f$
• 非関連流れ則：$g\ne f$

塑性の開始・停止は Kuhn–Tucker 条件で表す。

$$f\le 0,\dot{\lambda }\ge 0,\dot{\lambda }f=0$$

塑性域では整合条件（consistency condition）

$$\dot{f}=0$$

が成立し、$\dot{\lambda }$ が決定される。

5.1 等価塑性ひずみ

等方硬化の駆動量として等価塑性ひずみ速度

$${\dot{\overline{\epsilon }}}^p=\sqrt{\frac{2}{3}}\parallel {\dot{\mathit{\epsilon }}}^p\parallel$$

を定義することが多い。

6. 硬化則と降伏面

硬化は、塑性変形に伴い降伏条件が変化する効果である。

6.1 等方硬化（isotropic hardening）

降伏面が同心的に膨張（または収縮）する。線形硬化の例：

$${\sigma }_y(\kappa )={\sigma }_{y0}+H\kappa ,\dot{\kappa }={\dot{\overline{\epsilon }}}^p$$

より現実的な Voce 型の例：

$${\sigma }_y(\kappa )={\sigma }_{y0}+Q(1-e^{-b\kappa })$$

6.2 移動硬化（kinematic hardening）

降伏面が応力空間内で並進し、Bauschinger 効果などを表現する。背応力 $\mathit{\alpha }$ を導入し

$$f=\sqrt{\frac{3}{2}}\parallel \mathbf{s}-\mathit{\alpha }\parallel -{\sigma }_y(\kappa )$$

とする。

Prager 型（線形移動硬化）の一例：

$$\dot{\mathit{\alpha }}=c{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathrm{dev}}^p$$

Chaboche 型（非線形移動硬化）の代表形：

$$\mathit{\alpha }=\sum _{i=1}^n{\mathit{\alpha }}_i,{\dot{\mathit{\alpha }}}_i=\frac{2}{3}{c}_i{\dot{\mathit{\epsilon }}}^p-{\gamma }_i{\mathit{\alpha }}_i{\dot{\overline{\epsilon }}}^p$$

6.3 混合硬化

等方硬化と移動硬化を同時に用い、単調変形と繰り返し変形の双方を記述する。繰り返し硬化/軟化やラチェッティングを扱う際は、背応力成分を複数用いることが多い。

7. 応力更新の数値解法：後退オイラー

有限要素法では増分（時刻 $t_n\to t_{n+1}$）で応力と内部変数を更新する。最も広く用いられるのが後退オイラーに基づく return mapping である。

7.1 弾性予測

塑性ひずみを前時刻のまま固定して試行応力を計算する。

$${\mathit{\sigma }}^{\mathrm{tr}}=\mathbb{C}:({\mathit{\epsilon }}_{n+1}-{\mathit{\epsilon }}_n^p)$$

試行降伏判定：

$$f^{\mathrm{tr}}=f({\mathit{\sigma }}^{\mathrm{tr}},{\mathbf{a}}_n)$$

• $f^{\mathrm{tr}}\le 0$ なら弾性：

$${\mathit{\sigma }}_{n+1}={\mathit{\sigma }}^{\mathrm{tr}},{\mathbf{a}}_{n+1}={\mathbf{a}}_n$$

• $f^{\mathrm{tr}}>0$ なら塑性補正を行う。

7.2 塑性補正（塑性ステップ）

増分塑性乗数 $\mathrm{\Delta }\lambda$ を用いて

$${\mathit{\epsilon }}_{n+1}^p={\mathit{\epsilon }}_n^p+\mathrm{\Delta }\lambda {\mathbf{n}}_{n+1},{\mathbf{n}}_{n+1}=\frac{\partial g}{\partial \mathit{\sigma }}{|}_{n+1}$$

応力は

$${\mathit{\sigma }}_{n+1}=\mathbb{C}:({\mathit{\epsilon }}_{n+1}-{\mathit{\epsilon }}_{n+1}^p)$$

$\mathrm{\Delta }\lambda$ は整合条件

$$f({\mathit{\sigma }}_{n+1},{\mathbf{a}}_{n+1})=0$$

を満たすように Newton 法などで解く。

7.3 $J_2$ 関連流れ則での radial return

$J_2$・関連流れ則では、偏差応力空間で降伏面へ半径方向に戻す radial return が成立しやすく、計算が安定である。代表的には、$\mathrm{\Delta }\lambda$ を未知数としてスカラー方程式に帰着できる場合が多い。

8. 一貫接線剛性（consistent tangent）

非線形有限要素法では Newton 法で平衡方程式を解くため、材料接線

$${\mathbb{C}}_{\mathrm{ep}}=\frac{\partial {\mathit{\sigma }}_{n+1}}{\partial {\mathit{\epsilon }}_{n+1}}$$

が収束性を支配する。塑性ステップでは return mapping と整合した ${\mathbb{C}}_{\mathrm{ep}}$（一貫接線）を用いることで反復が安定化する。

9. 有限ひずみ弾塑性

大変形では加算分解が不適切となり、変形勾配の乗法分解

$$\mathbf{F}={\mathbf{F}}^e{\mathbf{F}}^p$$

を用いる。弾性応答は ${\mathbf{F}}^e$ から、塑性流れは ${\mathbf{F}}^p$ の発展として記述する。剛体回転に対する客観性（objective stress rate）や更新則の選択が重要となる。

10. 粘塑性（rate dependence）による正則化

時間依存（速度依存）を導入すると、数値的安定性や局所化の抑制に寄与する。Perzyna 型の代表例：

$$\dot{\lambda }={⟨\frac{f}{\eta }⟩}^m$$

ここで $\eta$ は粘性係数、$m$ は指数、$⟨x⟩=max(x,0)$ である。

11. 局所化とメッシュ依存

軟化を含むモデル（損傷結合など）では、ひずみ局所化により解がメッシュに依存しやすくなる。これに対して

• 非局所モデル（内部変数の空間平均）
• 勾配塑性（$\mathrm{\nabla }\kappa$ などを導入）
• 位相場損傷や非線形破壊モデルとの結合

などにより内部長さスケールを与える方法が採られる。

12. 結晶塑性との関係

多結晶金属の $J_2$ 弾塑性は、転位すべりの統計平均として理解できる。結晶塑性では、すべり系 $\alpha$ ごとに

$${\dot{\mathit{\epsilon }}}^p=\sum _{\alpha }{\dot{\gamma }}^{\alpha }{\mathbf{m}}^{\alpha }$$

（${\dot{\gamma }}^{\alpha }$：すべり速度、${\mathbf{m}}^{\alpha }$：シュミットテンソル）とし、分解せん断応力 ${\tau }^{\alpha }$ に対して降伏・硬化を定める。集合組織、異方性、寸法効果などの説明力が高い一方で、計算コストは増大する。

13. モデル選択

目的/現象	代表モデル	主な未知パラメータ	典型的な注意点
単調引張（延性金属）	$J_2$ + 等方硬化（線形/Voce）	$E,\nu ,{\sigma }_{y0},H$ または $Q,b$	反転負荷の表現は限定的
繰り返し塑性	$J_2$ + Chaboche（移動硬化） + 等方硬化	$c_i,{\gamma }_i,Q,b$	ループの同定が必要
圧力依存材料	Drucker–Prager / Mohr–Coulomb	$\alpha ,k$ など	非関連流れ則の扱い
大変形成形	有限ひずみ弾塑性	更新則パラメータ	客観性と積分法が鍵
局所化や破壊	勾配塑性/非局所/損傷結合	内部長さ、損傷係数	メッシュ依存対策が前提

14. キーワード

• 弾性定数：小ひずみ域より $E,\nu$
• 初期降伏：${\sigma }_{y0}$（例えば 0.2% 耐力など）
• 等方硬化：単調試験から ${\sigma }_y(\kappa )$ をフィット（線形/Voce）
• 移動硬化：反転負荷（引張–圧縮、ループ）から $\{c_i,{\gamma }_i\}$ を同定
• 圧力依存：三軸試験などから $I_1$ 依存性を同定
• 異方性：複数方位の降伏・塑性流れデータを用いる

まとめ

弾塑性モデルは、降伏条件 $f$、流れ則 ${\dot{\mathit{\epsilon }}}^p=\dot{\lambda }\partial g/\partial \mathit{\sigma }$、硬化則（等方・移動・混合）を、熱力学に整合する形で組み合わせた構成理論である。数値計算では return mapping を核として応力と内部変数を更新し、一貫接線剛性により非線形収束を安定化する。対象現象に応じて圧力依存、有限ひずみ、粘塑性、非局所化、結晶塑性へ拡張することで、より広い変形・履歴応答を扱えるようになる。