遍歴電子系のStoner 条件

Stoner 条件は、金属電子系が自発的にスピン分極するための「相互作用の強さ」と「フェルミ準位 DOS」の競合を、最小限の数式で表す判定式である。Hubbard 模型の Hartree–Fock（HF）近似から導くと、磁化・帯磁率・比熱・分光などの計測量へ直接つながる形になる。

参考ドキュメント

1. 勝本信吾, 磁性 (Magnetism) 講義ノート（Hubbard model の平均場、Stoner criterion などを含む）
   https://note-collection.issp.u-tokyo.ac.jp/katsumoto/magnetism2022/magnetism_01-14.pdf
2. Eva Pavarini, Magnetism: Models and Mechanisms（Hubbard 模型の HF 近似から Stoner 表式・帯磁率を導出）
   https://www.cond-mat.de/events/correl13/manuscripts/pavarini.pdf
3. Luigi Paolasini, Lectures on Magnetism, Lecture 6 “Magnetism in metals”（Stoner criterion と帯磁率増強の整理）
   https://www.esrf.fr/files/live/sites/www/files/events/Paolasini_magnetism lecture6.pdf

1. 目的と位置づけ

遍歴電子磁性では、電子は結晶中を動き回る一方で、クーロン反発により同一サイトでの二重占有が抑制され、結果としてスピン分極（強磁性）に向かう場合がある。Hubbard 模型は「運動（バンド）＋局所反発」を最短距離で書ける模型であり、HF 近似で扱うと Stoner モデルとほぼ同型の式が現れる。

本稿の狙いは次の二つである。

• Hubbard 模型の HF 近似から Stoner 条件 $U\rho (E_F)>1$ を導く（記号の定義と単位系の注意も含める）。
• 条件式に現れる $\rho (E_F)$ や相互作用パラメータ（Stoner 因子）を、帯磁率・比熱・分光・散乱などの計測量と接続する。

2. Hubbard 模型とスピン分極

2.1 Hubbard 模型（単一軌道の基本形）

格子点 $i$ とスピン $\sigma =\uparrow ,\downarrow$ に対して

$$H=\sum _{ij,\sigma }{t}_{ij}{c}_{i\sigma }^{†}{c}_{j\sigma }+U\sum _i{n}_{i\uparrow }{n}_{i\downarrow },$$$$n_{i\sigma }=c_{i\sigma }^{†}{c}_{i\sigma }.$$

• 第1項：ホッピング $t_{ij}$ による運動エネルギー（バンドを作る）
• 第2項：同一サイトでの二重占有に対する反発 $U$

ここで「強磁性」は、スピン分極

$$m\equiv \frac{1}{2}(n_{\uparrow }-n_{\downarrow })$$

が自発的に $m\ne 0$ となる状態として表す（$n_{\sigma }$ は1サイト当たり平均占有数）。

3. HF（平均場）近似：二体相互作用を一体問題へ

3.1 HF の密度型デカップリング

HF の基本操作は、相関項を平均値で一次化することである。もっとも基本的な密度型デカップリングは

$$n_{i\uparrow }{n}_{i\downarrow }\approx ⟨n_{i\uparrow }⟩n_{i\downarrow }+n_{i\uparrow }⟨n_{i\downarrow }⟩-⟨n_{i\uparrow }⟩⟨n_{i\downarrow }⟩.$$

並進対称（サイト独立）を仮定し $⟨n_{i\sigma }⟩=n_{\sigma }$ と置くと、

$$H_U^{\mathrm{HF}}=U\sum _i(n_{\uparrow }{n}_{i\downarrow }+n_{\downarrow }{n}_{i\uparrow }-n_{\uparrow }{n}_{\downarrow }).$$

ここで

$$n_{\uparrow }=\frac{n}{2}+m,n_{\downarrow }=\frac{n}{2}-m,n=n_{\uparrow }+n_{\downarrow }$$

とすると、スピン依存の有効ポテンシャル（バンドのスピン分裂）が現れる。

3.2 有効一体ハミルトニアンとバンド分裂

HF では各スピンの単一粒子エネルギーが

$${\epsilon }_{k\sigma }={\epsilon }_k+U{n}_{-\sigma }={\epsilon }_k+\frac{Un}{2}-\sigma Um,$$

（$\sigma =+1$ を $\uparrow$、$\sigma =-1$ を $\downarrow$ と表す表記を用いた）となる。 つまりスピン分裂幅は

$$\mathrm{\Delta }\equiv {\epsilon }_{k\downarrow }-{\epsilon }_{k\uparrow }=2Um.$$

この「自分が分極すると分裂が生まれ、分裂がさらに分極を促す」という自己無撞着の増幅機構が Stoner 型の磁性である。

4. Stoner 条件の導出：$U\rho (E_F)>1$

4.1 弱分極極限での自己無撞着条件

$T=0$、弱い分極（$m$ が小さい）を考える。スピン分裂 $\mathrm{\Delta }=2Um$ により、$\uparrow$ と $\downarrow$ のフェルミ準位が相対的にずれ、その結果として占有数差が生じる。

フェルミ準位近傍で DOS がほぼ一定であると近似すると、

• 片スピン DOS（1サイト当たり、単位エネルギー当たり）を ${\rho }_{\uparrow }(E_F)={\rho }_{\downarrow }(E_F)=\rho (E_F)$ とおく。
• すると、スピン分裂 $\mathrm{\Delta }$ による占有数差は一次で

$$n_{\uparrow }-n_{\downarrow }\simeq {\rho }_{\mathrm{tot}}(E_F)\frac{\mathrm{\Delta }}{2},$$

ただし ${\rho }_{\mathrm{tot}}(E_F)=2\rho (E_F)$ を全 DOS（両スピン和）とした。

左辺は定義より $n_{\uparrow }-n_{\downarrow }=2m$、右辺に $\mathrm{\Delta }=2Um$ を代入すると

$$2m\simeq {\rho }_{\mathrm{tot}}(E_F)\frac{2Um}{2}=U{\rho }_{\mathrm{tot}}(E_F)m.$$

$m\ne 0$ の非自明解の条件は

$$U{\rho }_{\mathrm{tot}}(E_F)>2⟺U\rho (E_F)>1.$$

どちらの形も同じ内容であり、片スピン DOS を使うか全 DOS を使うかの流儀の違いにすぎない。以後、基本形として

$$U\rho (E_F)>1$$

（$\rho (E_F)$ は片スピン DOS）を Stoner 条件と呼ぶ。

4.2 帯磁率の Stoner 増強

外場 $B$（または $H$）によるゼーマン分裂を加えると、HF は「外場に加えて $Um$ が内部場として作用する」形になる。線形応答の範囲では

$$\chi =\frac{{\chi }_0}{1-U\rho (E_F)},$$

ここで ${\chi }_0$ は相互作用なしの Pauli 常磁性（スピンの）帯磁率である。分母が 0 に近づくほど帯磁率が増強し、$U\rho (E_F)\to 1$ で発散する。したがって

• 自発磁化が出る境界：$U\rho (E_F)=1$
• 自発磁化が出ない側でも、$\chi$ は強く増強される

という予言が得られる。

増強因子（Stoner factor, enhancement）を

$$S\equiv \frac{\chi }{{\chi }_0}=\frac{1}{1-U\rho (E_F)}$$

と置くと、$S$ は「強磁性にどれだけ近いか」を表す尺度になる。

5. Stoner パラメータ $I$ と多軌道・実材料への読み替え

実材料では $U$ をそのまま単一数として扱うより、Stoner パラメータ $I$ を導入して

$$I\rho (E_F)>1$$

と書くことが多い。$I$ は「交換相互作用に起因するエネルギー低下を、バンド分裂と磁化に対して有効一体的にまとめた量」とみなせる。多軌道（$d$ 軌道群）では、同一サイト内のクーロン反発 $U$ とフント結合 $J_H$ の組合せが実効的な $I$ を与え、軌道分解 DOS の形（van Hove 特異性、擬ギャップ等）も強く効く。

従って、実材料への適用は

• $\rho (E_F)$ がどの軌道・どの原子に由来するか
• 相互作用がどの程度有効に残るか（遮蔽、混成、スピン揺らぎ）

を合わせて考える必要がある。

6. 計測量との接続：$S$ と $\rho (E_F)$ をどう得るか

Stoner 条件は「相互作用」と「DOS」の積で決まるため、計測では次の二系統が重要になる。

• $\rho (E_F)$（または準粒子 DOS ${\rho }^{\ast }(E_F)$）を見積もる
• $\chi$ の増強から $S$ を見積もる（さらに $I\rho (E_F)$ を逆算）

6.1 比熱（電子比熱係数）から ${\rho }^{\ast }(E_F)$

低温比熱の電子成分は

$$C_{\mathrm{el}}=\gamma T,\gamma =\frac{{\pi }^2}{3}{k}_B^2{\rho }_{\mathrm{tot}}^{\ast }(E_F).$$

ここで ${\rho }_{\mathrm{tot}}^{\ast }(E_F)$ は相互作用で有効質量が増大した「準粒子 DOS」である。DFT が与えるバンド DOS ${\rho }_{\mathrm{band}}(E_F)$ と比べると、質量増大 $m^{\ast }/m$ の効果を含めた議論ができる。

補足：実験の $\gamma$ は電子相関・電子格子相互作用なども含んだ結果であり、Stoner の「裸の DOS」との一対一対応ではない。そのため、分光や量子振動と併用して整合を取るのが有効である。

6.2 一様帯磁率から $S$（Stoner 増強）を推定

相互作用が弱い金属のスピン帯磁率は Pauli 型で

$${\chi }_0\propto {\mu }_B^2{\rho }_{\mathrm{tot}}(E_F)$$

（単位系により ${\mu }_0$ が付く）である。したがって同一試料で

• 比熱から ${\rho }^{\ast }(E_F)$ を得る（$\gamma$）
• 帯磁率から $\chi$ を得る

と、比

$$S\simeq \frac{\chi }{{\chi }_0}$$

で増強因子の大きさが見積もれる。

ただし、測定される帯磁率にはスピン以外の寄与が混ざる。概念的には

$${\chi }_{\mathrm{meas}}={\chi }_{\mathrm{spin}}+{\chi }_{\mathrm{orb}}+{\chi }_{\mathrm{core}}+{\chi }_{\mathrm{imp}}$$

のように分解されるため、少なくとも以下を意識する必要がある。

• ${\chi }_{\mathrm{core}}$：内殻電子の反磁性（ほぼ温度独立）
• ${\chi }_{\mathrm{orb}}$：バンドの軌道応答（Landau 反磁性、Van Vleck 常磁性など）
• ${\chi }_{\mathrm{imp}}$：微量不純物・欠陥による Curie 的成分（$1/T$）

温度依存の形と磁場依存を丁寧に見て、スピンの一様成分を抽出する。

6.3 角度分解光電子（ARPES）・硬X線光電子（HAXPES）

分光は $\rho (E)$（エネルギー依存 DOS）とフェルミ面形状、バンド分散 $E(k)$ を直接与える。

• ARPES：表面近傍の分散・フェルミ面、準粒子幅（散乱率）も得られる
• HAXPES：相対的にバルク感度が高い

Stoner 条件に効くのは $E_F$ 近傍の状態密度であり、平坦バンド・van Hove 特異性・強い混成などが見えると、$\rho (E_F)$ が大きくなりうる。

6.4 中性子散乱・スピン励起（パラマグノン）

Stoner/HF は静的な平均場であるが、実材料ではスピン励起が重要になる。中性子散乱は動的構造因子 $S(q,\omega )$ を通じて動的帯磁率 ${\chi }^{″}(q,\omega )$ を与える。

• $q\approx 0$ 近傍の強いスピン揺らぎ：一様帯磁率の増強と整合
• 強磁性に近い金属でのパラマグノン：平均場臨界からのずれの手掛かり

6.5 NMR / $\mu$SR：低エネルギーのスピン揺らぎ

NMR の緩和率 $1/T_1$ は局所磁場揺らぎに敏感であり、近似的に

$$\frac{1}{T_{1}T}\propto \sum _q|A(q){|}^2\frac{{\chi }^{″}(q,{\omega }_0)}{{\omega }_0}$$

で評価される（${\omega }_0$ は核ラーモア周波数）。一様帯磁率だけでは見えにくい $q$ 依存の揺らぎを補うことができる。$\mu$SR も同様に低エネルギーの揺らぎと内部磁場を捉える。

6.6 XMCD：元素選択的なスピン・軌道磁気モーメント

遍歴磁性が関与する合金・多元素系では、どの元素の $d$ 状態が分極しているかが重要になる。XMCD は吸収端選択により元素別の磁気モーメントにアクセスでき、HF/Stoner の「バンド分裂がどの成分で起きているか」を検証する材料になる。

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7. 主要式と計測対応の一覧

目標量	理論式（HF/Stoner）	対応する計測量	コメント
Stoner 条件	$I\rho (E_F)>1$	$\rho (E_F)$ と $S$ を組み合わせて推定	$\rho (E_F)$ の定義（片スピン/全）に注意
増強因子	$S=\chi /{\chi }_0=1/(1-I\rho (E_F))$	一様帯磁率 $\chi$ と ${\chi }_0$	${\chi }_0$ は DOS 由来（比熱・分光などで補う）
Pauli 帯磁率	${\chi }_0\propto {\mu }_B^2{\rho }_{\mathrm{tot}}(E_F)$	低温帯磁率（温度依存が弱い成分）	軌道・内殻・不純物の寄与を差し引く
電子比熱	$\gamma =\frac{{\pi }^2}{3}{k}_B^2{\rho }_{\mathrm{tot}}^{\ast }(E_F)$	低温比熱の $\gamma$	相互作用で増大した準粒子 DOS を含む
スピン分裂	$\mathrm{\Delta }=2Im$（モデルにより係数差あり）	スピン分解分光、磁気円二色性	励起の寿命効果も絡む
動的応答	$\chi (q,\omega )$ の増大	中性子散乱、NMR、$\mu$SR	HF からのずれ（スピン揺らぎ）を捉える

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8. $I$ の逆算：$\gamma$ と $\chi$ から $I\rho (E_F)$ を得る見取り図

手順を式でまとめる。

1. 比熱から ${\rho }_{\mathrm{tot}}^{\ast }(E_F)$（準粒子 DOS）を見積もる

   $${\rho }_{\mathrm{tot}}^{\ast }(E_F)=\frac{3}{{\pi }^2}\frac{\gamma }{k_B^2}.$$

2. そこから Pauli 帯磁率の見積もり（単位系に応じて係数が付く）

   $${\chi }_0\propto {\mu }_B^2{\rho }_{\mathrm{tot}}^{\ast }(E_F).$$

3. 実測の一様帯磁率（低温で温度依存が弱い成分）を $\chi$ として、増強因子

   $$S=\frac{\chi }{{\chi }_0}.$$

4. Stoner 形式 $S=1/(1-I\rho (E_F))$ より

   $$I\rho (E_F)=1-\frac{1}{S}.$$

ここで重要なのは、比熱が与えるのはしばしば ${\rho }^{\ast }(E_F)$ であり、Stoner の式に入る「裸の」$\rho (E_F)$ と一致しない場合がある点である。実際には ARPES や量子振動が示す有効質量、DFT の ${\rho }_{\mathrm{band}}(E_F)$ などを合わせ、どのレベルの $\rho (E_F)$ を用いるかを揃えるのが筋が良い。

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9. 注意すべき点

9.1 局在モーメント型の混入

観測される Curie–Weiss 的な $1/(T-\theta )$ 成分は、局在モーメントやクラスター、欠陥が原因になりうる。Stoner 的な Pauli 応答（温度依存が弱い）と混ざると、$S$ の推定が不安定になる。磁場依存・温度範囲を変えた系統測定で分離する。

9.2 軌道寄与と反磁性の補正

金属の実測帯磁率には Landau 反磁性や Van Vleck 常磁性、内殻反磁性が含まれる。とくに重元素を含む系、強い SOC を持つ系では ${\chi }_{\mathrm{orb}}$ が無視できない場合がある。XMCD や角度依存帯磁率、g 因子推定などが補助線になる。

9.3 スピン揺らぎによる平均場からのずれ

Stoner/HF は静的平均場であり、臨界近傍や弱遍歴強磁性体ではスピン揺らぎが強く、臨界指数や温度依存が平均場からずれることが知られている。中性子散乱や NMR により揺らぎスペクトルを併せて議論すると、$I\rho (E_F)$ の解釈が一段安定する。

9.4 DOS のエネルギー依存（van Hove 特異性など）

$\rho (E)$ が $E_F$ 近傍で急峻に変化する場合、$\rho (E_F)$ を「一定」とみなした導出が定量的に崩れる。温度上昇で化学ポテンシャル近傍の平均化が効くため、$\chi (T)$ の弱い温度依存として現れることがある。分光で $\rho (E)$ の形を確認する意義はここにある。

10. まとめ

Hubbard 模型の HF（平均場）近似は、スピン分裂 $\mathrm{\Delta }=2Um$ を通じた自己増幅機構を与え、弱分極極限で $U\rho (E_F)>1$（片スピン DOS）という Stoner 条件を導く。さらに $\chi ={\chi }_0/(1-U\rho (E_F))$ により、強磁性に到達しない側でも一様帯磁率が増強されることが分かる。比熱・帯磁率・分光・散乱を組み合わせて $\rho (E_F)$ と増強因子 $S$ を整合させることで、理論式を現実の計測量として検証できる枠組みが得られる。

関連研究

• D. P. Arovas, The Hubbard Model (review note; HF と Stoner criterion の位置づけを含む)
  https://arxiv.org/pdf/2103.12097

• A. I. Lichtenstein, Magnetism: From Stoner to Hubbard（Stoner から Hubbard・多体へ）
  https://www.cond-mat.de/events/correl13/manuscripts/lichtenstein.pdf

• T. Moriya and A. Kawabata, Effect of Spin Fluctuations on Itinerant Electron Ferromagnetism（スピン揺らぎ理論の展開）
  https://journals.jps.jp/doi/10.1143/JPSJ.34.639https://journals.jps.jp/doi/10.1143/JPSJ.35.669

• 京都大学 OCW（または講義資料）に見られる SCR（自己無撞着繰り込み）理論の解説
  https://ocw.kyoto-u.ac.jp/wp-content/uploads/2021/04/2010_takahashi_03.pdf

• Arrott プロット（$H/M$ vs $M^2$）の一般的整理（平均場臨界と磁化等温線解析）
  https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.93.224429