磁気弾性効果（magnetoelasticity）の定式化

磁気弾性効果とは、磁化状態と弾性ひずみ（応力）が相互に影響し合う結合現象である。磁歪（磁化による形状変化）と逆磁歪（応力による磁気異方性の誘起）を、同一の自由エネルギー枠組みで扱うことが要点である。

参考ドキュメント

• Fritsch, Ederer, First-principles calculations of magnetoelastic constants and magnetostriction (arXiv:1203.1051)
  https://arxiv.org/abs/1203.1051
• Magnon-induced elastic and magnetoelastic field in ferromagnetic materials (Sci Rep 13, 2023)
  https://www.nature.com/articles/s41598-023-28100-x
• 磁歪と磁気異方性：現象論と電子論（日本磁気学会 学術講演概要, 日本語）
  https://www.magnetics.jp/kouenkai/2016/doc/program/7pE-1.pdf

1. 数式記号と前提

1.1 磁化

• 磁化ベクトル $\mathbf{M}$、飽和磁化 $M_s$
• 単位磁化 $\mathbf{m}=\mathbf{M}/M_s$（$|\mathbf{m}|=1$）
• 立方晶での方向余弦 $\mathit{\alpha }=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$（結晶軸 $[100],[010],[001]$ に対する $\mathbf{m}$ の成分）

1.2 ひずみ・応力

• 変位 $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ に対して微小ひずみ

$$\mathit{\epsilon }=\frac{\mathrm{\nabla }\mathbf{u}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{u}{)}^{\mathsf{T}}}{2}$$

• 応力テンソル $\mathit{\sigma }$
• 弾性率（フック則）

$$\mathit{\sigma }=\mathbb{C}:(\mathit{\epsilon }-{\mathit{\epsilon }}_0)$$

ここで $\mathbb{C}$ は弾性定数テンソル、${\mathit{\epsilon }}_0$ は固有ひずみ（磁歪ひずみを含めて表現することが多い）

2. 自由エネルギーの最小化としての磁気弾性

磁気弾性は、磁気エネルギーと弾性エネルギーを足し合わせた自由エネルギーを最小化することで定まる。

2.1 全自由エネルギー（連続体）

領域 $\mathrm{\Omega }$ に対して、全エネルギー汎関数を

$$F[\mathbf{m},\mathbf{u}]={\int }_{\mathrm{\Omega }}\{f_{\mathrm{mag}}(\mathbf{m},\mathrm{\nabla }\mathbf{m})+f_{\mathrm{el}}(\mathit{\epsilon })+f_{\mathrm{me}}(\mathbf{m},\mathit{\epsilon })-{\mu }_0{M}_s{\mathbf{H}}_{\mathrm{ext}}\cdot \mathbf{m}\}dV$$

とする。

• $f_{\mathrm{mag}}$: 交換、結晶磁気異方性、反磁界（静磁）など
• $f_{\mathrm{el}}$: 弾性エネルギー
• $f_{\mathrm{me}}$: 磁気弾性（磁歪）エネルギー
• 最小化の二変数は、磁化 $\mathbf{m}$ と変位 $\mathbf{u}$（すなわち $\mathit{\epsilon }$）である

2.2 弾性エネルギー（線形弾性）

$$f_{\mathrm{el}}(\mathit{\epsilon })=\frac{1}{2}\mathit{\epsilon }:\mathbb{C}:\mathit{\epsilon }$$

（固有ひずみを導入する場合は $f_{\mathrm{el}}=\frac{1}{2}(\mathit{\epsilon }-{\mathit{\epsilon }}_0):\mathbb{C}:(\mathit{\epsilon }-{\mathit{\epsilon }}_0)$ とする）

3. 逆磁歪（応力誘起磁気異方性）の最も単純な式

一軸応力 $\sigma$ を受ける等方近似（多結晶平均）で、応力軸を単位ベクトル $\mathbf{n}$ とすると

$$f_{\sigma }(\mathbf{m})=-K_{\sigma }(\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}{)}^2(\text{定数項は省略})$$$$K_{\sigma }=\frac{3}{2}\lambda \sigma$$

ここで $\lambda$ は（等方近似の）磁歪定数である。符号により、引張で容易軸になる（$\lambda >0$）か困難軸になる（$\lambda <0$）かが決まる。

別表現として

$$f_{\sigma }=-\frac{3}{2}\lambda \sigma [(\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}{)}^2-\frac{1}{3}]$$

と書けば、体積一定（トレース零）に対応する定数項を含めた形になる。

4. 単結晶（立方晶）における磁気弾性エネルギー：$b_1$, $b_2$ 形式

立方晶での代表的な磁気弾性エネルギー密度は

$$f_{\mathrm{me}}(\mathit{\alpha },\mathit{\epsilon })=b_1({\alpha }_1^2{\epsilon }_{xx}+{\alpha }_2^2{\epsilon }_{yy}+{\alpha }_3^2{\epsilon }_{zz})+2b_2({\alpha }_1{\alpha }_2{\epsilon }_{xy}+{\alpha }_2{\alpha }_3{\epsilon }_{yz}+{\alpha }_3{\alpha }_1{\epsilon }_{zx})$$

• $b_1,b_2$ は磁気弾性定数（エネルギー密度の係数）である
• 工学ひずみ（${\gamma }_{xy}=2{\epsilon }_{xy}$）を用いる流儀と混在しやすいので、せん断成分の $2$ の扱いを必ず確認する

4.1 磁歪定数 ${\lambda }_{100}$, ${\lambda }_{111}$ との関係（代表式）

立方晶では、磁歪定数 ${\lambda }_{100}$（$⟨100⟩$ 方向）と ${\lambda }_{111}$（$⟨111⟩$ 方向）を導入すると、弾性定数と結びついた関係が現れる。

代表的な整理の一例：

$$b_1=-\frac{3}{2}{\lambda }_{100}(c_{11}-c_{12})$$$$b_2=-3{\lambda }_{111}{c}_{44}$$

ここで $c_{11},c_{12},c_{44}$ は立方晶の独立弾性定数である。 （符号規約は文献により変わるため、$\lambda$ の定義と合わせて整合を取ることが重要である。）

5. 磁歪ひずみ（固有ひずみ）としての表現

磁歪を「磁化により自発的に現れる固有ひずみ」${\mathit{\epsilon }}_0(\mathbf{m})$ として入れると、弾性側は

$$f_{\mathrm{el}}=\frac{1}{2}(\mathit{\epsilon }-{\mathit{\epsilon }}_0(\mathbf{m})):\mathbb{C}:(\mathit{\epsilon }-{\mathit{\epsilon }}_0(\mathbf{m}))$$

となり、磁気弾性結合が弾性エネルギー内に吸収される。

等方・体積一定の最小モデルでは

$${\mathit{\epsilon }}_0(\mathbf{m})=\frac{3}{2}\lambda [\mathbf{m}\otimes \mathbf{m}-\frac{1}{3}\mathbf{I}]$$

がよく用いられる（deviatoric ansatz）。

単結晶（立方晶）では、${\mathit{\epsilon }}_0$ の成分を ${\lambda }_{100},{\lambda }_{111}$ と方向余弦 $\mathit{\alpha }$ で展開し、$⟨100⟩$ の伸縮と $⟨111⟩$ に関係するせん断の両方を記述する。

6. 連成支配方程式：力学平衡と磁化ダイナミクス

6.1 力学（準静的）

慣性を無視する場合、力学平衡は

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }=0$$

境界条件：変位拘束（$\mathbf{u}=\overline{\mathbf{u}}$）または表面力（$\mathit{\sigma }\cdot \mathbf{n}=\overline{\mathbf{t}}$）など

応力は自由エネルギーから

$$\mathit{\sigma }=\frac{\partial f_{\mathrm{el}}}{\partial \mathit{\epsilon }}+\frac{\partial f_{\mathrm{me}}}{\partial \mathit{\epsilon }}$$

で与えられる。 $b1,b2$ 形式を使うと、磁化方向に依存する「磁気弾性応力」が追加される。

6.2 磁化（LLG）

磁化ダイナミクスは Landau–Lifshitz–Gilbert 方程式で与えられる。

$$\frac{d\mathbf{m}}{dt}=-\gamma \mathbf{m}\times {\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}+{\alpha }_G\mathbf{m}\times \frac{d\mathbf{m}}{dt}$$

有効磁界はエネルギー汎関数から

$${\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}=-\frac{1}{{\mu }_0{M}_s}\frac{\delta F}{\delta \mathbf{m}}$$

で定義される。

磁気弾性寄与は

$${\mathbf{H}}_{\mathrm{me}}=-\frac{1}{{\mu }_0{M}_s}\frac{\partial f_{\mathrm{me}}}{\partial \mathbf{m}}$$

として加わる。

立方晶 $b1,b2$ 形式では、例えば結晶座標で

$${\mathbf{H}}_{\mathrm{me}}\propto -\frac{1}{{\mu }_0{M}_s}[2b_1({\epsilon }_{xx}{\alpha }_1,{\epsilon }_{yy}{\alpha }_2,{\epsilon }_{zz}{\alpha }_3)+2b_2(\cdots \text{せん断の混合項}\cdots )]$$

となり、ひずみ場が「磁気異方性として機能することが見える。

7. 数値連成の流れ（連続体・メッシュ系）

磁気弾性連成は、次の反復または同時解法で扱われる。

1. $\mathbf{m}$ を仮定（または前時刻から更新）
2. ${\mathit{\epsilon }}_0(\mathbf{m})$ あるいは $f_{\mathrm{me}}(\mathbf{m},\mathit{\epsilon })$ を評価
3. 力学平衡 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }=0$ を解き、$\mathit{\epsilon }$（または $\mathit{\sigma }$）を得る
4. その $\mathit{\epsilon }$ を用いて ${\mathbf{H}}_{\mathrm{me}}$ を構成し、LLG を時間積分して $\mathbf{m}$ を更新
5. 収束するまで反復（または時間発展で逐次）

• 反磁界、電磁誘導（渦電流）まで含めるとさらに多場連成になる
• ひずみ・応力の取り扱い（工学せん断 vs テンソルせん断）と、座標系（結晶座標 vs 試料座標）の取り違えが典型的なバグ源である

8. 第一原理計算（DFT）との接続：b1, b2 の求め方の骨格

磁気弾性定数は「磁化方向を固定した全エネルギーが、与えたひずみに対してどのように変化するか」から決定できる。

代表的には：

• 立方晶で小さな tetragonal ひずみ（${\epsilon }_{xx}=-{\epsilon }_{yy}$ など）や shear ひずみ（${\epsilon }_{xy}$ など）を与える
• 磁化方向を結晶軸に沿って変えて全エネルギー差を計算する
• エネルギー差をひずみの一次係数としてフィットし $b_1,b_2$ を抽出する

同時に弾性定数 $c_{ij}$ を別計算で求めれば、${\lambda }_{100},{\lambda }_{111}$ などの磁歪定数へ変換できる。 この変換は、磁気弾性のエネルギー係数と弾性率の組として現れるためである。

9. パラメータと単位の早見表

量	意味	典型単位	備考
$M_s$	飽和磁化	A/m	温度・組成で変化
$\lambda ,{\lambda }_s$	等方（多結晶平均）磁歪定数	無次元	${10}^{-6}\sim {10}^{-3}$ 程度が多い
${\lambda }_{100},{\lambda }_{111}$	立方晶の磁歪定数	無次元	$⟨100⟩,⟨111⟩$ に対応
$b_1,b_2$	磁気弾性定数（エネルギー係数）	J/m${}^3$（=Pa）	符号規約に注意
$c_{11},c_{12},c_{44}$	立方晶弾性定数	Pa	$b\to \lambda$ 変換に使う
$K_u$	一軸異方性定数	J/m${}^3$	応力誘起 $K_u=(3/2)\lambda \sigma$

まとめ

• 磁気弾性効果は、自由エネルギーに磁気弾性項 $f_{\mathrm{me}}$ を加え、磁化 $\mathbf{m}$ とひずみ $\mathit{\epsilon }$（変位 $\mathbf{u}$）を同時に決める枠組みで定式化できる。
• 応力誘起の有効異方性は $K_u=\frac{3}{2}\lambda \sigma$ の形で表され、単結晶では $b_1,b_2$ と方向余弦 $\mathit{\alpha }$、ひずみテンソル $\mathit{\epsilon }$ で記述される。
• 連成計算では、力学平衡（$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }=0$）と LLG（$d\mathbf{m}/dt$）を、エネルギー微分で結び付けることで一貫したモデルになる。
• $b_1,b_2$（および ${\lambda }_{100},{\lambda }_{111}$）は、ひずみを与えた全エネルギーの磁化方向依存から決定でき、弾性定数と組にして磁歪へ変換できる。