固体物理学の初歩

固体（凝縮系）物理学は、多数の原子・電子が相互作用しながら作る「物質の性質」を、量子力学と統計物理を基礎に理解する分野である。結晶構造と対称性、格子振動（フォノン）、周期ポテンシャル中の電子（バンド）、さらに相互作用が生む磁性・超伝導・トポロジカル相などを、共通の言葉で記述することを目指す。

参考ドキュメント

1. MIT OpenCourseWare, Physics of Solids I (8.231)
   https://ocw.mit.edu/courses/8-231-physics-of-solids-i-fall-2006/
2. 東京大学物性研究所, ISSP Note Collection（物性分野の講義ノート公開ポータル）
   https://www.issp.u-tokyo.ac.jp/labs/tosyo/note/
3. 理化学研究所（理研）プレスリリース, 結晶のひずみを抑えて超伝導を発現（2025-12-11）
   https://www.riken.jp/press/2025/20251211_1/index.html

1. 凝縮系物理が扱う対象とスケール

凝縮系物理が扱うのは、固体・液体・超流動・超伝導など、粒子が高密度に存在し相互作用が支配的な状態である。固体に限っても、金属・半導体・絶縁体・磁性体・誘電体・超伝導体・強相関物質・トポロジカル物質など、性質は多様である。

重要なのは、単一原子の性質を足し合わせただけでは現れない「集団的性質」が現れる点である。例えば、電気抵抗の温度依存、フォノンによる熱容量、スピン秩序、クーパー対形成などは、多体系としての記述が不可欠である。

スケールの概観は次のように整理できる。

観点	代表的スケール	具体例
原子間距離	0.1–1 nm	格子定数、結合長
逆格子・波数	1/nm 程度	ブリルアンゾーン、回折
エネルギー	meV–eV	フォノン（meV）、バンド幅（eV）
時間	fs–ns 以上	電子散乱、スピンダイナミクス
巨視的応答	mm–m	電気伝導、磁化、熱伝導

2. 結晶構造と対称性

2.1 ブラベー格子と単位胞

結晶は、平行移動対称性をもつ原子配列である。格子ベクトル ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3$ により、格子点は

$$\mathbf{R}=n_1{\mathbf{a}}_1+n_2{\mathbf{a}}_2+n_3{\mathbf{a}}_3(n_i\in \mathbb{Z})$$

と表される。単位胞は、空間を重なりなく埋める最小の繰り返し単位である。基底（basis）を格子点に付与すると、具体的な結晶構造が得られる。

2.2 逆格子とブリルアンゾーン

逆格子ベクトル ${\mathbf{b}}_i$ は

$${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$$

を満たすように定義され、波数空間の自然な座標系を与える。逆格子点は

$$\mathbf{G}=h{\mathbf{b}}_1+k{\mathbf{b}}_2+l{\mathbf{b}}_3(h,k,l\in \mathbb{Z})$$

である。

第一ブリルアンゾーン（BZ）は、逆格子のウィグナー・ザイツ胞に相当し、電子状態やフォノン分散を議論する基本領域となる。

2.3 対称性と物性

結晶の点群・空間群対称性は、許される物性応答（テンソルの形）を制約する。例えば、中心対称性がある結晶では一次の圧電効果が禁制になるなど、対称性が直接物性選択則を与える。

3. 回折と構造因子：実空間と逆空間の接続

3.1 ブラッグ条件

X線・中性子・電子線回折は、格子の周期性を逆空間で観測する手段である。弾性散乱の条件は

$$\mathrm{\Delta }\mathbf{k}={\mathbf{k}}_{\mathrm{out}}-{\mathbf{k}}_{\mathrm{in}}=\mathbf{G}$$

であり、等価にブラッグ条件

$$2d\sin \theta =n\lambda$$

としても表現される（$d$ は格子面間隔）。

3.2 構造因子

単位胞内の原子位置 ${\mathbf{r}}_j$ と散乱因子 $f_j$ に対し、構造因子は

$$F(\mathbf{G})=\sum _j{f}_j{e}^{i\mathbf{G}\cdot {\mathbf{r}}_j}$$

で定義され、回折強度は一般に $|F(\mathbf{G}){|}^2$ に比例する。消滅則（系統的欠測）は、基底と対称性の情報を含む。

4. 格子振動（フォノン）：弾性波から量子化まで

4.1 1次元単原子鎖：分散関係の出発点

質量 $M$、ばね定数 $K$ の1次元単原子鎖の運動方程式は

$$M{\ddot{u}}_n=K(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})$$

であり、平面波解 $u_n\propto e^{i(qna-\omega t)}$ を代入すると

$$\omega (q)=2\sqrt{\frac{K}{M}}|\sin \frac{qa}{2}|$$

が得られる。小さな $q$ では $\omega \simeq v_s|q|$ と線形になり、音速 $v_s$ を与える。

4.2 単位胞内自由度と音響・光学分枝

単位胞に複数原子があると、音響（acoustic）分枝に加えて光学（optical）分枝が現れる。光学モードは赤外活性・ラマン活性など分光応答と結びつき、結晶対称性により選択則が決まる。

4.3 フォノンの量子化

格子振動の正準量子化により、各正規モードは量子調和振動子となる。1モードのエネルギー準位は

$$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$$

である。フォノンはこの励起量子として扱われ、比熱・熱伝導・電子散乱の主要因となる。

4.4 デバイ模型と熱容量

低温での固体の比熱が $T^3$ に比例することは、デバイ模型で説明される。フォノン状態密度 $g(\omega )\propto {\omega }^2$ を用いると、低温極限で

$$C_V\propto T^3$$

が得られる。金属では電子比熱 $C_e=\gamma T$ が加わり、低温で $C_V=\gamma T+\beta T^3$ という整理が現れる。

5. 周期ポテンシャル中の電子

5.1 ブロッホ定理

結晶の周期ポテンシャル $V(\mathbf{r}+\mathbf{R})=V(\mathbf{r})$ の下で、シュレーディンガー方程式の解は

$${\psi }_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}{u}_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}),u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R})=u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$$

と書ける。$n$ はバンド指数、$\mathbf{k}$ はBZ内の結晶運動量である。

5.2 ほぼ自由電子とバンドギャップ

自由電子では $E(\mathbf{k})={\hslash }^2{k}^2/2m$ であるが、周期ポテンシャルはブラッグ反射によりゾーン境界で縮退を解き、ギャップを開く。これにより

• 部分的に満たされたバンド：金属
• 完全に満たされた価電子帯と空の伝導帯：半導体・絶縁体

という分類が現れる。

5.3 有効質量と準粒子像

バンド極値近傍で

$$E(\mathbf{k})\simeq E_0+\frac{{\hslash }^2}{2}\sum _{ij}(k_i-k_{0i})(m^{\ast -1}{)}_{ij}(k_j-k_{0j})$$

と展開できるとき、電子は有効質量テンソル $m^{\ast }$ を持つ準粒子として運動する。これは輸送・光学応答・量子振動の理解に直結する。

5.4 状態密度（DOS）

3次元自由電子の状態密度は

$$g(E)\propto \sqrt{E}$$

である。一方、バンド構造ではバン・ホーブ特異点など、分散の鞍点・極値に起因する特徴が現れる。DOSは比熱、磁化率（パウリ常磁性）、光学吸収など多くの観測量に現れる。

6. フェルミ統計と金属電子：フェルミ面の意味

6.1 フェルミ・ディラック分布

温度 $T$、化学ポテンシャル $\mu$ の下で占有数は

$$f(E)=\frac{1}{e^{(E-\mu )/k_{B}T}+1}$$

である。低温では $\mu \simeq E_F$（フェルミエネルギー）となり、物性は $E_F$ 近傍の励起で支配される。

6.2 フェルミ面

フェルミ面は $E_n(\mathbf{k})=E_F$ を満たす $\mathbf{k}$ 空間の面であり、金属の輸送・磁気量子振動（ド・ハース＝ファン・アルフェン効果等）・不安定性（密度波、超伝導）に深く関係する。

フェルミ面の形は、単純金属では自由電子球に近いが、遷移金属・層状物質・強相関物質では複雑になり得る。

7. 輸送現象

7.1 ドルーデ模型（古典的出発点）

平均散乱時間 $\tau$ を仮定すると、直流電気伝導率は

$$\sigma =\frac{n{e}^2\tau }{m^{\ast }}$$

となる。これは古典モデルであるが、散乱時間という概念は量子輸送でも基礎となる。

7.2 ボルツマン輸送と散乱

バンド構造 $E_n(\mathbf{k})$ の下で、緩和時間近似を用いると

$${\mathbf{v}}_n(\mathbf{k})=\frac{1}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{k}}{E}_n(\mathbf{k})$$

を速度として輸送係数を評価できる。抵抗の温度依存は、主に

• 低温：不純物散乱（温度依存が弱い）
• 中高温：フォノン散乱（温度依存が強い）

という寄与の和として理解される。

7.3 ホール効果

磁場 $\mathbf{B}$ の下で横電圧が生じ、ホール係数 $R_H$ が定義される。単純モデルでは

$$R_H=\frac{1}{ne}$$

であり、キャリア密度の指標となる。ただし多バンドや異方性があると単純な解釈は崩れる。

8. 半導体の基礎

8.1 キャリアと有効状態密度

バンドギャップ $E_g$ を持つ半導体では、熱励起により電子と正孔が生成される。非縮退近似で電子密度 $n$、正孔密度 $p$ は

$$n\simeq N_C{e}^{-(E_C-\mu )/k_{B}T},p\simeq N_V{e}^{-(\mu -E_V)/k_{B}T}$$

と書ける。$N_C,N_V$ は有効状態密度である。

8.2 ドーピングとフェルミ準位

ドナー（n型）・アクセプタ（p型）不純物の導入により $\mu$ が移動し、キャリアが増える。p-n接合では内蔵電位と空乏層が形成され、整流特性が現れる。

9. 磁性の基礎：局在スピンと遍歴電子

9.1 交換相互作用とハイゼンベルク模型

局在スピン系の出発点は

$$H=-\sum _{⟨ij⟩}{J}_{ij}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_j$$

である。$J_{ij}>0$ なら強磁性、$J_{ij}<0$ なら反強磁性が安定になりやすい。

9.2 磁化率と相転移

高温常磁性ではキュリー・ワイス則

$$\chi =\frac{C}{T-\mathrm{\Theta }}$$

が現れ、$\mathrm{\Theta }$ は有効交換相互作用の符号・大きさを反映する。臨界現象としては、秩序変数と自由エネルギーの展開（ギンズブルグ＝ランダウ的な考え方）が有用である。

9.3 遍歴電子磁性

金属では電子が遍歴し、スピン分極したバンド構造として磁性が現れる。パウリ常磁性は

$${\chi }_{\mathrm{Pauli}}={\mu }_0{\mu }_B^{2}g(E_F)$$

のようにDOSに比例する形で理解され、強磁性はストーナー条件などで議論される。

10. 超伝導の基礎：マクロな量子状態

10.1 基本現象

超伝導の主要特徴は

• 電気抵抗がゼロ
• マイスナー効果（完全反磁性）

である。ロンドン方程式から磁場の侵入長（ロンドン浸透長） ${\lambda }_L$ が現れ、磁場が指数的に減衰する。

10.2 BCSとギャップ

BCS理論では、フォノン媒介の有効引力によりクーパー対が形成され、エネルギーギャップ $\mathrm{\Delta }$ が生じる。臨界温度 $T_c$ とギャップには

$$2\mathrm{\Delta }(0)\simeq 3.52k_B{T}_c$$

という関係（弱結合極限）が得られる。

10.3 GL理論とタイプI/II

ギンズブルグ＝ランダウ理論では秩序変数 $\psi$ を導入し、自由エネルギー汎関数を最小化する。コヒーレンス長 $\xi$ と浸透長 $\lambda$ の比

$$\kappa =\frac{\lambda }{\xi }$$

により、タイプI（$\kappa <1/\sqrt{2}$）とタイプII（$\kappa >1/\sqrt{2}$）に分類される。タイプIIでは磁束量子が渦糸として侵入し、量子化磁束

$${\mathrm{\Phi }}_0=\frac{h}{2e}$$

が現れる。

11. 強相関電子系：相互作用がバンド像を超えるとき

11.1 ハバード模型

相互作用の最小モデルとして

$$H=-t\sum _{⟨ij⟩,\sigma }(c_{i\sigma }^{†}{c}_{j\sigma }+h.c.)+U\sum _i{n}_{i\uparrow }{n}_{i\downarrow }$$

がある。運動エネルギー（$t$）とオンサイト反発（$U$）の競合により、モット絶縁体、反強磁性、非フェルミ液体的性質などが現れ得る。

11.2 準粒子と崩れ

弱相互作用ではフェルミ液体として準粒子が成り立つが、強相関ではスペクトルが分裂し（ハバードバンド）、単純なバンド理論が不十分になる場合がある。実験的にはARPES、光学伝導度、比熱、量子振動などから相関の強さを推定する。

12. トポロジカル物質：幾何学（ベリー位相）と物性

12.1 ベリー接続と曲率

ブロッホ状態 $|u_{n\mathbf{k}}⟩$ に対し、ベリー接続 ${\mathbf{A}}_n(\mathbf{k})$ とベリー曲率 ${\mathbf{\Omega }}_n(\mathbf{k})$ を

$${\mathbf{A}}_n(\mathbf{k})=i⟨u_{n\mathbf{k}}|{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{k}}{u}_{n\mathbf{k}}⟩,{\mathbf{\Omega }}_n(\mathbf{k})={\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{k}}\times {\mathbf{A}}_n(\mathbf{k})$$

で定義する。これらは輸送（異常ホール効果など）や表面状態の保護と結びつく。

12.2 チャーン数と量子ホール

2次元絶縁体では、占有バンドのベリー曲率をBZで積分したチャーン数 $C$ が量子化輸送を与える：

$$C=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathrm{BZ}}\mathrm{\Omega }(\mathbf{k})d^{2}k,{\sigma }_{xy}=\frac{e^2}{h}C$$

この種の「トポロジカル不変量」は、散乱や連続変形に対して頑健である点が重要である。

12.3 トポロジカル絶縁体と表面状態

時間反転対称性などの対称性により、ギャップを持つバルクと、ギャップレスな表面状態が共存する相が現れる。スピン軌道相互作用が重要な役割を果たす場合が多い。

13. 相転移と秩序：対称性の破れと臨界現象

相転移は、秩序変数（例：磁化、超伝導秩序）と対称性で整理できる。

ギンズブルグ＝ランダウの考え方では、秩序変数 $\eta$ に対して

$$F(\eta )=F_0+a(T){\eta }^2+b{\eta }^4+\cdots$$

を考え、$a(T)$ の符号変化で秩序が出現する。臨界近傍では揺らぎが支配的となり、平均場描像を超えた普遍性（臨界指数）が現れる。

14. 実験手法：何を測ると何が分かるか

凝縮系物理では、構造・電子状態・励起・輸送・局所応答を多角的に測定する。

手法	主に得られる量	物理的解釈の焦点
X線回折（XRD）	結晶構造、格子定数	対称性、相同定、歪
中性子散乱	磁気構造、フォノン	スピン秩序、格子振動
ARPES	バンド分散、フェルミ面	準粒子、相関、トポロジー
STM/STS	局所DOS、欠陥状態	局所電子状態、ギャップ
輸送測定	$\rho (T)$、$R_H$ 等	散乱、キャリア、相
比熱	$C(T)$	DOS、ギャップ、揺らぎ
磁化・MCD等	磁気応答、スピン分極	交換、磁気異方性

各測定は「観測量→モデル→パラメータ→物性像」という往復で理解が深まる。例えば、比熱の低温項から $g(E_F)$ を見積もる、ARPESで自己エネルギーの効果を見る、散乱で分散関係を直接測る、といった対応がある。

まとめと展望

固体物理（凝縮系物理）の初歩は、(i) 結晶の周期性が逆格子とブリルアンゾーンを導き、(ii) 格子振動がフォノンとして量子化され、(iii) 電子がブロッホ状態とバンドとして整理され、(iv) 統計と相互作用により金属・半導体・磁性・超伝導などの相が生じる、という一本の流れで理解できる。さらに、強相関やトポロジカル概念は、バンド像の拡張として「相互作用」や「幾何学的位相」が物性を支配し得ることを示し、現代凝縮系の中心的視点になっている。

最後に、初歩として押さえておくと見通しが良い対応をまとめる。

テーマ	基本概念	代表式・量
構造	格子・逆格子	$\mathbf{G}$、BZ
振動	フォノン	$\omega (\mathbf{q})$、$C_V\sim T^3$
電子	ブロッホ波・バンド	${\psi }_{n\mathbf{k}}$、$E_n(\mathbf{k})$
金属	フェルミ面	$f(E)$、$E_F$
輸送	散乱と応答	$\sigma =n{e}^2\tau /m^{\ast }$
磁性	交換相互作用	$H=-\sum J{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_j$
超伝導	秩序とギャップ	$\mathrm{\Delta }$、${\mathrm{\Phi }}_0=h/2e$
相関	競合	ハバード $t$ と $U$
トポロジー	ベリー曲率	$C=\frac{1}{2\pi }\int \mathrm{\Omega }{d}^{2}k$

展望としては、第一に、実空間（構造）と逆空間（分散・BZ）を往復できる力が、理解の安定性を大きく高める。第二に、励起（フォノン・マグノン・準粒子）を「測定可能な分散関係」として捉えることで、理論と実験が直結する。第三に、相互作用・無秩序・トポロジーの組み合わせが新しい相と機能を生み続けており、量子材料設計、スピントロニクス、量子デバイスへと接続する基盤として、凝縮系物理は今後も発展していく。

参考文献・資料

• 京都大学学術情報リポジトリ, 中嶋貞雄「固体物理（講義ノート）」 https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/85970

• 京都大学リポジトリ, 今田正俊「高温超伝導体の物理（講義ノート）」 https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/bitstream/2433/182063/1/bussei_el_031208.pdf

• 基礎物性（磁性）の講義ノート例（東大物性研Note Collection内PDF） https://note-collection.issp.u-tokyo.ac.jp/katsumoto/magnetism2022/note01-14_jp.pdf

• 京都大学基礎物理学研究所（YITP）関連資料例：結晶対称性とトポロジカル絶縁体（PDF） https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~ken.shiozaki/doc/Natsugaku.pdf

• NIMS NOW（NIMS広報誌）, 強相関・トポロジカルなど理論と計算の位置づけ（PDF） https://archive.nims.go.jp/publicity/nimsnow/vol13/hdfqf1000001v3u1-att/NN_JP_2013_11Nov_all.pdf

• Nobel Prize（2016年物理学賞）関連解説PDF：Topological phase transitions and topological phases of matter https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/advanced-physicsprize2016-1.pdf

• Nobel Lecture（Haldane, 2016）Topological Quantum Matter（PDF） https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/haldane-lecture.pdf

• 理研プレスリリース（例）：トポロジカル物質で超伝導ダイオードを実現（2019-06-21） https://www.riken.jp/press/2019/20190621_1/index.html