計算科学で読み解くスピングラス

スピングラスは、無秩序とフラストレーションにより、平衡化が困難で準安定状態が無数に現れる磁性系である。計算科学は、相図・基底状態・自由エネルギー地形・非平衡ダイナミクスを同一の枠組みで扱い、観測量とミクロ機構を往復させるための中核手段である。

参考ドキュメント

大関真之, スピングラス模型の臨界点と双対変換1 – 厳密解を求めて –（解説, 2010）
https://www-adsys.sys.i.kyoto-u.ac.jp/mohzeki/bk2010.pdf
Fan, C. et al., Searching for spin glass ground states through deep reinforcement learning, Nat. Commun. 14, 725 (2023).
https://www.nature.com/articles/s41467-023-36363-w
日本電信電話株式会社, 100000スピンコヒーレントイジングマシンを実現（プレスリリース, 2021/09/30）
https://group.ntt/jp/newsrelease/2021/09/30/210930a.html

1. 何を知りたいのか

スピングラスを扱うとき、計算で答える問いは概ね次の形に落ちる。

相転移は存在するか、凍結温度 $T_{g}$ はどこか
秩序は何で特徴付けられるか（磁化ではなくオーバーラップ、相関長など）
自由エネルギー地形はどれほど rugged か（障壁、谷の数と階層性）
緩和はどれほど遅いか（エイジング、記憶、若返り、周波数依存）
無秩序の起源（乱れた交換結合、乱れた異方性、ランダム場など）を同定できるか
物質パラメータ（交換 $J_{i j}$ 、異方性 $K$ 、DMI $D_{i j}$ 、減衰 $α$ など）が観測量にどう写るか

この「問い」を、以下の 4 層に分けて設計する

物質から有効スピン模型を作る
平衡量（熱力学）をサンプリングする
非平衡量（時間応答）を計算する
観測量から模型パラメータを推定する（逆問題）

2. モデル化：電子・原子の情報をスピングラス模型へ落とす

2.1 有効ハミルトニアン

実系を抽象化すると、多くは次の形に整理できる。

H = - \sum_{i \neq j} J_{i j} e_{i} \cdot e_{j} - \sum_{i} K_{i} (e_{i} \cdot {\hat{n}}_{i})^{2} - \sum_{i < j} D_{i j} \cdot (e_{i} \times e_{j}) - \sum_{i} μ_{i} H \cdot e_{i}

$e_{i}$ はサイト $i$ の単位スピン（Ising なら $e_{i} = \pm 1$ ）
$J_{i j}$ が正負混在し、かつ幾何学的制約で全結合を同時に満たせないとき、フラストレーションが生じる
$K_{i}$ や ${\hat{n}}_{i}$ の乱れ（ランダム異方性）もガラス化の駆動になり得る
実材料では、化学的不規則（サイト混合、欠陥、粒界）により $J_{i j}$ が空間的に揺らぎ、ガラス性が現れる場合が多い

2.2 無秩序の表現：SQS、CPA、クラスタ近似

無秩序を計算に載せるには、次の二系統が有用である。

SQS（special quasirandom structures）小さな周期超胞で、近接相関を“無秩序に近く”再現する構造を設計し、第一原理計算で $J_{i j}$ や $K$ を評価する。無秩序を明示的に含むため解釈が直感的である一方、サンプル数（異なるSQS）とサイズ依存が課題になる。
CPA（coherent potential approximation）系（特に KKR-CPA）無秩序平均を自己無撞着に行い、平均的な電子状態と交換相互作用を扱いやすい。組成依存の平均挙動を連続的に追える一方、局所揺らぎやクラスター性は別途評価が必要になる。

2.3 交換結合の抽出： $J_{i j}$ の第一原理評価

第一原理から Heisenberg 模型の $J_{i j}$ を得る標準的枠組みとして、グリーン関数・局所スピン密度に基づく方法（いわゆる Liechtenstein の式）が広く用いられる。 $J_{i j}$ が得られれば、以後は統計力学（MC）やスピンダイナミクス（LLG）で温度・時間依存を扱える。

得られる解析例：

どの距離の $J_{i j}$ が正負反転しているか（RKKY 的振動の有無）
乱れが入ると“強い結合と弱い結合”がどの程度分布を持つか
異方性やDMIを含めたとき、凍結の性質がどう変わるか

3. 平衡計算：凍結温度と相図を出すためのサンプリング戦略

スピングラスで最も支配的なボトルネックは、平衡化（エルゴード性）の破れである。よって「どのサンプラーを設計するか」自体が研究の中心になる。

3.1 代表的サンプリング法の比較

手法	何をするか	メリット	得意な解析	注意点
単温度MC（Metropolis/heat-bath）	固定 $T$ で局所更新	実装が簡単	高温の熱平均、基礎量のテスト	低温で凍りやすい
交換MC（レプリカ交換、parallel tempering）	複数温度のレプリカを交換	rugged地形で強い	$T_{g}$ 推定、臨界解析、低温平衡量	温度格子設計が重要
人口アニーリング（population annealing）	多数レプリカを冷却＋再重み付け	並列性が高い、自由エネルギー評価と相性が良い	自由エネルギー差、広域の平衡量	人口サイズ・再標本化誤差
マルチカノニカル	DOSを平坦化するよう重み更新	障壁越えを促進	DOS、エントロピー、低温量	重み学習が難しい
Wang–Landau	DOS推定を逐次更新	DOS推定の王道	DOS、熱力学量の再構成	サンプル間のばらつきが大きい場合がある
再重み付け（ヒストグラム法等）	近傍温度へ統計を写像	追加計算を減らせる	$T_{g}$ 近傍の高精度化	有効サンプルが足りないと破綻

計算の出力としては、単なるエネルギーや磁化ではなく、スピングラス特有の量を直接評価することが重要である。

3.2 スピングラス相の指標：オーバーラップと相関長

独立に熱平衡化した 2 つのレプリカ $a, b$ のオーバーラップを

q_{a b} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} s_{i}^{(a)} s_{i}^{(b)}

と定義し、分布 $P (q)$ やモーメント $⟨ q^{2} ⟩, ⟨ q^{4} ⟩$ を観測する。凍結温度近傍の有限サイズ解析には Binder 比が有効である。

U_{4} = 1 - \frac{⟨ q^{4} ⟩}{3 ⟨ q^{2} ⟩^{2}}

さらに、波数依存のスピングラス感受率 $χ_{SG} (k)$ から相関長 $ξ_{L}$ を見積もることが多い。

ξ_{L} = \frac{1}{2 \sin (k_{min} / 2)} {(\frac{χ_{SG} (0)}{χ_{SG} (k_{min})} - 1)}^{1 / 2}

得られる解析例：

$U_{4}$ や $ξ_{L} / L$ の交点から $T_{g}$ を推定する
臨界指数（ $ν, η$ など）を有限サイズスケーリングで評価する
$P (q)$ の形から、低温相の状態構造（単純か階層的か）を議論する

4. 基底状態と準安定状態：最適化としてのスピングラス

低温物性や障壁議論では、基底状態（ground state）と低励起（domain wall、droplet）を精密に知りたい場面がある。このとき「統計力学」より「組合せ最適化」に寄せた計算が強力になる。

4.1 厳密解・高速解が可能な場合

2次元平面（特定の境界条件、外場なし等）では、Ising スピングラスの基底状態が最小重み完全マッチング（MWPM）へ写像でき、非常に大規模な格子でも厳密基底状態が計算可能である。その結果、剛性指数、ドメインウォールエネルギー、droplet 描像の検証などが進む。

4.2 一般次元での戦略

3次元以上や外場ありでは一般に困難になり、次の戦略を組み合わせる。

分枝限定・カット平面（整数計画としての厳密化）
遺伝的アルゴリズム＋局所厳密化（cluster-exact 近似など）
焼きなまし／交換MCを“基底探索”に特化して使う
強化学習や学習ベース探索で、探索方策自体を最適化する

得られる解析例：

基底状態の多重度、基底間オーバーラップ
低励起の空間構造とエネルギースケール
エネルギー地形の ruggedness を、探索困難性として定量化する

5. 非平衡ダイナミクス：エイジング、記憶、周波数依存を計算する

5.1 二時間相関と応答

非平衡の代表量として、待ち時間 $t_{w}$ を含む二時間自己相関を用いる。

C (t, t_{w}) = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} ⟨ s_{i} (t_{w}) s_{i} (t_{w} + t) ⟩

$C (t, t_{w})$ が $t_{w}$ に依存することがエイジングの指標である。さらに、摂動磁場に対する応答（線形応答・統合応答）を組み合わせ、揺動散逸関係（FDT）の破れとして非平衡性を議論することもある。

5.2 原子論的スピンダイナミクス（確率 LLG）

時間スケールを明示的に扱うには、熱雑音を含む確率 LLG（stochastic LLG）が基本となる。

\frac{d S_{i}}{d t} = - \frac{γ}{1 + α^{2}} [S_{i} \times H_{i}^{eff} + α S_{i} \times (S_{i} \times H_{i}^{eff})] + (thermal noise)

$H_{i}^{eff} = - \partial H / \partial S_{i}$ であり、 $J_{i j}, K, D_{i j}$ がそのまま効く
温度を入れた緩和、磁場パルス応答、AC 応答などが直接計算できる
凍結が“静的”か“動的”か（観測時間に依存するか）を整理しやすい

得られる解析例：

AC 帯磁率 $χ (ω)$ の周波数依存と緩和時間分布
記憶・若返りプロトコルの再現（温度ステップ操作の数値実験）
実空間でどこが先に凍るか（局所異方性・結合の強弱との対応）

6. 量子スピングラス：横磁場、量子揺らぎ、量子アニーリング

量子揺らぎを入れる最小形は横磁場 Ising 型である。

H = - \sum_{i < j} J_{i j} σ_{i}^{z} σ_{j}^{z} - Γ \sum_{i} σ_{i}^{x}

平衡問題は量子モンテカルロ（QMC）やその派生で扱える
ただしフラストレーションや符号問題が計算を難しくする場合がある
計算困難性は、そのまま量子アニーリングやイジングマシンのベンチマーク物理へ接続する

国内では、イジングモデルを計算基盤として最適化を行うコヒーレントイジングマシン（CIM）の研究開発が継続しており、スピングラス型問題が標準的な参照課題になっている。

7. 逆問題：観測量から $J_{i j}$ や無秩序を推定する（inverse Ising）

スピングラスでは「モデルを与えて計算する」だけでなく、「観測量からモデルを推定する」問題が重要である。典型的には、サイト磁化や相関、感受率から $J_{i j}$ と局所場 $h_{i}$ を推定する inverse Ising が該当する。

P ({s}) \propto \exp (\sum_{i < j} J_{i j} s_{i} s_{j} + \sum_{i} h_{i} s_{i})

推定手法の例：

擬似尤度（pseudo-likelihood）に基づく推定
平均場近似、TAP 近似、ベリーフリーエネルギーに基づく推定
メッセージパッシング（susceptibility propagation など）
ベイズ推定（事前分布を入れて不確かさも含める）

得られる解析例：

“乱れの強さ”や“有効結合の距離依存”を実験データから推定する
観測ノイズに対する頑健性や、推定不能領域（限界）を定量化する
推定した模型で温度・周波数応答を再現し、モデル同定の妥当性を検証する

8. 機械学習との融合：加速と解釈の両面

機械学習は大きく 2 つの役割を持つ。

8.1 計算の加速

強化学習で基底状態探索の方策を学習し、既存の焼きなまし等に組み込む
量子モンテカルロでガイド波動関数を学習的に与え、バイアスや分散を低減する
重要度サンプリングの提案分布を学習し、希な遷移（障壁越え）を引き出す

8.2 解釈の補助

スピン配置集合を埋め込み（PCA/UMAP等）し、温度・履歴によるクラスタ構造を可視化する
学習した識別器により、従来の秩序パラメータだけでは区別しづらい相境界の指標を提案する
配置から局所特徴量（フラストレーション度、局所結合強度など）を抽出し、凍結核の空間分布を議論する

注意点として、機械学習は正解を保証しないため、必ず物理量（ $U_{4}$ 、 $ξ_{L} / L$ 、 $P (q)$ 、相関関数、応答関数）への還元で検証する設計が必要である。

9. 典型ワークフロー

無秩序の起源を仮説化する
乱れた $J_{i j}$ か、乱れた $K_{i}$ か、クラスター凍結か、などを仕分ける。
無秩序を表現する
SQS や CPA のいずれか（または併用）で、組成・欠陥・サイト混合をモデル化する。
第一原理から有効パラメータを抽出する
$J_{i j}$ 、 $K$ 、必要なら $D_{i j}$ を得て、分布や距離依存を確認する。
平衡サンプリングで $T_{g}$ を決める
交換MCや人口アニーリングで $U_{4}$ と $ξ_{L} / L$ を評価し、有限サイズ解析を行う。
非平衡計算で時間応答を再現する
二時間相関、AC応答、温度プロトコル（記憶・若返り）を計算し、観測時間依存を整理する。
逆問題でモデル同定を補強する
観測量から推定した $J_{i j}$ と、第一原理由来の $J_{i j}$ を突き合わせ、整合する仮説を残す。

10. 注意点と検証項目

平衡化チェック不足：交換MCでも低温で平衡化できていない場合がある
対策として、往復ヒストグラム、レプリカ交換率、自己相関の長時間尾、独立ランの一致を確認する。
サンプル間揺らぎ：無秩序平均が支配的で、平均値だけでは議論が崩れる
対策として、分布（中央値、分位点）や自己平均性の評価を併記する。
モデルの過剰単純化：Ising で良いのか、ベクトルスピンが必要か、異方性の乱れが本質か
対策として、観測量（特に周波数依存）に最も効く自由度を優先して導入する。
クラスターガラスとの混同：スーパースピン集合体などは別スケールの凍結を起こし得る
対策として、空間相関長と緩和時間分布を同時に評価し、単一粒子緩和との分離を行う。

まとめ

スピングラスを計算科学で読み解く要点は、無秩序の表現（SQS/CPAなど）と、rugged 地形に耐えるサンプリング（交換MC、人口アニーリング、平坦化法）を核に、平衡量（ $U_{4}, ξ_{L} / L, P (q)$ ）と非平衡量（二時間相関、AC応答）を往復させることである。さらに逆問題や機械学習を組み合わせることで、観測量から乱れの起源へ遡る同定能力が上がり、スピングラスを「難しい現象」から「設計可能な物理」へ近づけることができる。

基礎

各手法の原理

計算科学で読み解くスピングラス

参考ドキュメント

1. 何を知りたいのか

2. モデル化：電子・原子の情報をスピングラス模型へ落とす

2.1 有効ハミルトニアン

2.2 無秩序の表現：SQS、CPA、クラスタ近似

2.3 交換結合の抽出： $J_{i j}$ の第一原理評価

3. 平衡計算：凍結温度と相図を出すためのサンプリング戦略

3.1 代表的サンプリング法の比較

3.2 スピングラス相の指標：オーバーラップと相関長

4. 基底状態と準安定状態：最適化としてのスピングラス

4.1 厳密解・高速解が可能な場合

4.2 一般次元での戦略

5. 非平衡ダイナミクス：エイジング、記憶、周波数依存を計算する

5.1 二時間相関と応答

5.2 原子論的スピンダイナミクス（確率 LLG）

6. 量子スピングラス：横磁場、量子揺らぎ、量子アニーリング

7. 逆問題：観測量から $J_{i j}$ や無秩序を推定する（inverse Ising）

8. 機械学習との融合：加速と解釈の両面

8.1 計算の加速

8.2 解釈の補助

9. 典型ワークフロー

10. 注意点と検証項目

まとめ

関連研究

計算科学で読み解くスピングラス ​

参考ドキュメント ​

1. 何を知りたいのか ​

2. モデル化：電子・原子の情報をスピングラス模型へ落とす ​

2.1 有効ハミルトニアン ​

2.2 無秩序の表現：SQS、CPA、クラスタ近似 ​

2.3 交換結合の抽出：Jij の第一原理評価 ​

3. 平衡計算：凍結温度と相図を出すためのサンプリング戦略 ​

3.1 代表的サンプリング法の比較 ​

3.2 スピングラス相の指標：オーバーラップと相関長 ​

4. 基底状態と準安定状態：最適化としてのスピングラス ​

4.1 厳密解・高速解が可能な場合 ​

4.2 一般次元での戦略 ​

5. 非平衡ダイナミクス：エイジング、記憶、周波数依存を計算する ​

5.1 二時間相関と応答 ​

5.2 原子論的スピンダイナミクス（確率 LLG） ​

6. 量子スピングラス：横磁場、量子揺らぎ、量子アニーリング ​

7. 逆問題：観測量から Jij や無秩序を推定する（inverse Ising） ​

8. 機械学習との融合：加速と解釈の両面 ​

8.1 計算の加速 ​

8.2 解釈の補助 ​

9. 典型ワークフロー ​

10. 注意点と検証項目 ​

まとめ ​

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3. 平衡計算：凍結温度と相図を出すためのサンプリング戦略

3.1 代表的サンプリング法の比較

3.2 スピングラス相の指標：オーバーラップと相関長

4. 基底状態と準安定状態：最適化としてのスピングラス

4.1 厳密解・高速解が可能な場合

4.2 一般次元での戦略

5. 非平衡ダイナミクス：エイジング、記憶、周波数依存を計算する

5.1 二時間相関と応答

5.2 原子論的スピンダイナミクス（確率 LLG）

6. 量子スピングラス：横磁場、量子揺らぎ、量子アニーリング

7. 逆問題：観測量から $J_{i j}$ や無秩序を推定する（inverse Ising）

8. 機械学習との融合：加速と解釈の両面

8.1 計算の加速

8.2 解釈の補助

9. 典型ワークフロー

10. 注意点と検証項目

まとめ

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