動く磁壁が誘起する局所渦電流

導電性をもつ強磁性体では、磁壁が移動すると磁化分布が時間変化し、ファラデー誘導により局所的な渦電流が生じる。渦電流はジュール散逸として損失を与えるだけでなく、自己誘起磁場を通じて磁壁運動を抑制し、動的磁化過程（B-H ループ、Barkhausen 雑音、複素透磁率など）を変形させる機構となる。

参考ドキュメント

• Colaiori, Durin, Zapperi, Eddy current damping of a moving domain wall: beyond the quasistatic approximation, Phys. Rev. B 76, 224416 (2007) https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.76.224416
• Hayashi et al., Time-Domain Observation of the Spinmotive Force in Permalloy Nanowires, Phys. Rev. Lett. 108, 147202 (2012) https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.108.147202
• [日本語] JMAG-International, [W-MA-88] 異常渦電流損失計算の高精度化 (1) https://www.jmag-international.com/jp/whitepapers/w-ma-88/

1. 磁壁は「移動する磁束変化源」である

磁壁は、磁化が反転する狭い遷移領域（幅 $\mathrm{\Delta }$）である。壁が速度 $v$ で移動すると、磁化分布は概ね

$$\mathbf{M}(\mathbf{r},t)\approx \mathbf{M}(\mathbf{r}-\mathbf{v}t)$$

のように時間変化し、磁束密度

$$\mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})$$

の時間変化 $\partial \mathbf{B}/\partial t$ を生む。導体中ではこの磁束変化が回転電場を生み、渦電流を駆動する。

重要点は、磁壁運動による $\partial \mathbf{M}/\partial t$ が空間的に局在しやすく、試料幾何・境界条件に依存して「局所的に集中した電流ループ」を形成しうる点である。したがって、渦電流は一様磁化回転（全体が同相で変化）から期待される古典渦電流像よりも、空間的に複雑な分布をとりうる。

2. 磁気準静近似と構成則

多くの金属磁性体の低〜中周波域では、変位電流を無視した磁気準静近似がよく用いられる。基本式は

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\mathrm{\nabla }\times \mathbf{H}=\mathbf{J},\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$$

であり、材料の構成則は

$$\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E},\mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})$$

である（$\sigma$ は導電率）。渦電流損失（ジュール熱）の局所密度は

$$p(\mathbf{r},t)=\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}=\frac{|\mathbf{J}{|}^2}{\sigma }=\sigma |\mathbf{E}{|}^2$$

で与えられる。

ここで $\mathbf{M}$ は外生的に与える量ではなく、磁壁の内部自由度として運動方程式をもつ。代表的には LLG 方程式により

$$\frac{\partial \mathbf{m}}{\partial t}=-\gamma \mathbf{m}\times {\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}+\alpha \mathbf{m}\times \frac{\partial \mathbf{m}}{\partial t},\mathbf{m}=\frac{\mathbf{M}}{M_s}$$

と書ける。したがって、電磁場（Maxwell）と磁化ダイナミクス（LLG）が結合した問題となる。

3. 1次元磁壁モデル：$\partial \mathbf{M}/\partial t$ の局在

例えば Bloch壁を1次元で近似すると、壁中心 $q(t)$ に対して

$$m_z(x,t)=\tanh \left(\frac{x-q(t)}{\mathrm{\Delta }}\right),m_x(x,t)=\mathrm{sech}\left(\frac{x-q(t)}{\mathrm{\Delta }}\right)$$

などの形をとる（表式は磁気異方性と交換のバランスで定まる）。壁速度 $v=\dot{q}$ とすると

$$\frac{\partial m_z}{\partial t}=-\dot{q}\frac{\partial m_z}{\partial x}\sim \frac{v}{\mathrm{\Delta }}$$

のように、時間変化は壁幅 $\mathrm{\Delta }$ によって鋭く局在する。したがって局所的なスケーリングとして

$$\left|\frac{\partial \mathbf{M}}{\partial t}\right|\sim v\frac{\mathrm{\Delta }M}{\mathrm{\Delta }}$$

が得られる。

この局在した $\partial \mathbf{M}/\partial t$ が $\partial \mathbf{B}/\partial t$ を通じて誘導を生み、結果として渦電流分布が磁壁周辺で強くなる。

4. 渦電流生成のスケーリング

ファラデーの法則

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

から、代表長さ $\ell$ を用いた量的見積もりとして

$$E\sim \ell \left|\frac{\partial B}{\partial t}\right|$$

が得られる。ここで $\ell$ は磁壁幅ではなく、電流ループが回り込む幾何スケール（板厚、線幅、スリット間隔、積層ピッチなど）で決まる量である。

オーム則により

$$J\sim \sigma E\sim \sigma \ell \left|\frac{\partial B}{\partial t}\right|$$

損失密度は

$$p\sim \frac{J^2}{\sigma }\sim \sigma {\ell }^2{\left|\frac{\partial B}{\partial t}\right|}^2$$

となり、導電率が大きいほど局所渦電流とジュール散逸が増えることがわかる。磁性体では $\mu$ が大きくなりやすく、後述の磁気拡散時定数や表皮深さにも強く影響するため、単純に「良導体ほど損失増」と言い切れない局面もあるが、局所誘導の感度は概ね増大しやすい。

5. 渦電流が磁壁運動を抑制する

渦電流は自己磁場 ${\mathbf{H}}_{\mathrm{ec}}$ を作り、レンツの法則に従って磁束変化（＝磁壁運動）を妨げる。磁壁に働く反作用は、単純化すると速度に比例する粘性抵抗として

$$F_{\mathrm{ec}}\approx -\eta v$$

と書けることがある。

しかし磁場と電流の応答には磁気拡散の時間遅れがあり、壁の速度の履歴に依存する形が本質的になることがある。一般に

$$F_{\mathrm{ec}}(t)=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}K(s)v(t-s)ds$$

のような畳み込みで表され、$K(s)$ は試料形状と境界条件で決まるカーネルである。

速度が十分にゆっくり変化する場合、畳み込みを時間微分の展開として

$$F_{\mathrm{ec}}(t)\approx -\eta v(t)-m_{\mathrm{eff}}\frac{dv}{dt}+\cdots$$

と整理でき、履歴効果は有効慣性項に見かけ上吸収される。このとき幾何によって $m_{\mathrm{eff}}<0$ となる整理が与えられうることが知られており、Barkhausen 雑音やジャンプ統計の解釈に影響する（負の有効質量という言い方は近似表現であり、物理的には渦電流の遅れ応答を等価的に表しているに過ぎない）。

この反作用は磁壁の運動にのみ働くのではなく、磁区構造全体としての動的応答（透磁率スペクトル、磁化過程の緩和）を変えるため、周波数依存の損失成分と密接に結びつく。

6. 古典渦電流損失と異常（過剰）損失

交流磁化の損失はしばしば

$$P_{\mathrm{tot}}=P_{\mathrm{hys}}+P_{\mathrm{cl}}+P_{\mathrm{ex}}$$

のように分けて議論される。ここで

• $P_{\mathrm{hys}}$ はヒステリシス損失（不可逆過程、ピン止め）
• $P_{\mathrm{cl}}$ は古典渦電流損失（連続体近似・空間平均的誘導）
• $P_{\mathrm{ex}}$ は異常（過剰）損失（局所磁壁運動の統計性・局在誘導などを含む）

である。磁壁移動に伴う局所渦電流は、$P_{\mathrm{ex}}$ の代表的な物理像の一つとして整理される。

周波数依存の典型像として、$P_{\mathrm{cl}}$ が $f^2$ に比例しやすい一方で、$P_{\mathrm{ex}}$ は磁壁密度、磁壁速度の統計、微視的局在スケールの影響を受け、非整数べきに近い依存を示すことがある。現象としては「中周波域で $f^2$ からのずれが現れる」「MBN のパルス形状や統計が変形する」などとして観測される。

注意として、磁歪・内部摩擦・粘弾性、あるいは複素透磁率の周波数分散などが、$P_{\mathrm{ex}}$ と見かけ上似た周波数依存を与える場合がある。したがって局所渦電流起源を主張するには、電気抵抗・試料厚み・絶縁・スリットなど渦電流経路を制御した系統比較が有効である。

7. 電流ループの設計問題

局所渦電流は磁壁幅 $\mathrm{\Delta }$ だけで決まらず、電流が閉じる経路に支配される。したがって、次の要因が決定的に効く。

• 板厚・線幅・試料形状：電流ループの代表長さ $L$ を変える
• 積層や絶縁膜：ループの閉路を遮断し、等価抵抗を増やす
• スリット・溝加工：渦電流の大域経路を分断する
• 磁区細分化（レーザ処理等）：磁化変化の分担と局所 $\partial \mathbf{M}/\partial t$ ピークを変える

磁気拡散の代表時定数は概念的に

$${\tau }_{\mathrm{ec}}\sim \mu \sigma L^2$$

であり、$L$ が大きいほど（厚いほど、幅が広いほど）渦電流応答の遅れが強くなり履歴が出やすい。周波数領域では表皮深さ

$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}$$

が重要であり、$\delta$ が板厚より小さくなると電流と損失が表層に偏る。磁壁運動が表層で偏在する場合は、局所渦電流との重なりがさらに強くなりうる。

磁区細分化は磁壁本数を増やすが、全体の磁束変化を多数の壁で分担すると各壁の必要速度が下がり、局所的な $|\partial \mathbf{M}/\partial t|$ のピークが下がる方向に働くことがある。一方で、壁本数増加はピン止めイベント数を増やし、$P_{\mathrm{hys}}$ や MBN 統計を変える可能性があるため、単純な単調関係にはならない。

8. 観測シグナル

局所渦電流の影響は、複数の観測量に表れる。

8.1 動的 B-H ループと周波数依存

• 低周波域：$P_{\mathrm{hys}}$ 優勢になりやすい
• 高周波域：$P_{\mathrm{cl}}$ 優勢（$f^2$ 的増大）になりやすい
• 中間域：$P_{\mathrm{ex}}$ の寄与が現れ $f^2$ からのずれが見えやすい

厚みや絶縁で渦電流経路を変えたとき、ループのふくらみや損失の周波数依存が系統的に変化すれば、局所渦電流による反作用が疑われる。

8.2 磁気バルクハウゼンノイズ（MBN）

渦電流ダンピングは磁壁速度パルスを平滑化し、パルス幅・立ち上がり時間・統計分布を変える。拡散遅れが強いと、壁速度の履歴依存が MBN の非マルコフ性として観測される可能性がある。

8.3 空間分解観測との同期

Kerr 観察などで壁位置 $q(t)$ を追跡し、電気信号（端子電圧）や磁化信号と同期させると、壁運動と誘導応答の因果関係が見えやすい。特に磁壁がジャンプする瞬間の信号波形は局所誘導の検出に向く。

9. スピンモーティブフォース（SMF）

磁壁運動に伴う電圧は、古典的なファラデー誘導に加えて、磁化テクスチャの時空間変化に由来する有効電場（ベリー位相起源）として記述されることがある。代表式は

$${\mathbf{E}}_{\mathrm{em}}=-\frac{\hslash }{2e}\mathbf{m}\cdot (\frac{\partial \mathbf{m}}{\partial t}\times \mathrm{\nabla }\mathbf{m})$$

である（係数や符号は規約に依存する）。

SMF はナノワイヤ等で壁運動に同期した端子電圧として観測されるが、同じ実験で古典誘導（渦電流）も同時に起こりうる。切り分けには、以下が手掛かりになりうる。

• 幾何依存：渦電流は電流ループの閉路と抵抗に強く依存する
• 抵抗依存：$\sigma$ の変化や積層絶縁に対する感度が大きい
• 信号対称性：壁の伝搬方向反転や磁化反転に対する符号の変化則
• 周波数・時間スケール：${\tau }_{\mathrm{ec}}$ の有無（遅れ・履歴の出現）

10. 数値モデル化

目的に応じてモデルを段階化すると、解釈が安定する。

10.1 段階A：磁壁運動を与えて電磁場だけ解く

磁壁位置 $q(t)$ あるいは $\mathbf{M}(\mathbf{r},t)$ を外部から与え、Maxwell（準静）を解いて $\mathbf{E},\mathbf{J}$ を得る。損失は

$$P(t)={\int }_V\frac{|\mathbf{J}(\mathbf{r},t){|}^2}{\sigma }dV$$

で評価する。境界条件（外部回路に流れない、絶縁境界、電位ゲージなど）の置き方が結果を左右する。

10.2 段階B：反作用を有効項として磁壁方程式に入れる

磁壁座標 $q(t)$ の有効方程式に粘性・履歴を入れ

$$M_q\ddot{q}+\mathrm{\Gamma }\dot{q}+\frac{\partial U}{\partial q}=F_{\mathrm{drive}}+F_{\mathrm{ec}}[v]$$

のように扱う。$F_{\mathrm{ec}}$ を畳み込みで与えることで、幾何に起因する遅れを再現する。

10.3 段階C：Maxwell–LLG の結合（自己無撞着）

LLG で $\mathbf{M}$ を更新し、$\partial \mathbf{B}/\partial t$ をソースとして電磁場を解き、得られた ${\mathbf{H}}_{\mathrm{ec}}$ を有効磁場に戻す。

$${\mathbf{H}}_{\mathrm{eff}}={\mathbf{H}}_{\mathrm{ext}}+{\mathbf{H}}_{\mathrm{ex}}+{\mathbf{H}}_{\mathrm{ani}}+{\mathbf{H}}_{\mathrm{demag}}+{\mathbf{H}}_{\mathrm{ec}}$$

この結合は計算コストが高くなりやすく、時間刻みは LLG の高速スケールと ${\tau }_{\mathrm{ec}}$ の双方を解像する必要がある。計算上は、準静近似の妥当性と、電磁場ソルバ（FEM等）の安定性が鍵である。

11. 典型パラメータの対応表

量	記号	代表スケール	増えるとどうなるか
導電率	$\sigma$	金属で大	渦電流・ジュール散逸・反作用が増えやすい
代表幾何長	$L$	厚み・幅・ループ長	${\tau }_{\mathrm{ec}}\sim \mu \sigma L^2$ が増え、遅れが強まる
表皮深さ	$\delta$	$\sqrt{2/(\omega \mu \sigma )}$	小さいほど表層集中し、局所重なりが変わる
磁壁幅	$\mathrm{\Delta }$	nm–100 nm	小さいほど局所 $
磁壁速度	$v$	m/s 程度	大きいほど誘導が強くなる
透磁率	$\mu$	大	拡散・表皮に影響し、損失の形を変える
磁区構造	統計量	材料依存	磁壁密度・ピン止め統計が $P_{\mathrm{ex}}$ と MBN を規定する

まとめ

磁壁移動は局在した $\partial \mathbf{M}/\partial t$ を通じて回転電場を生み、導体中に局所渦電流を誘起する。渦電流はジュール散逸を与えるだけでなく、自己誘起磁場による反作用として磁壁運動を粘性的に抑制し、さらに磁気拡散の遅れがあると速度履歴依存（有効慣性項）として現れる。損失分離の枠組みでは異常（過剰）損失の主要候補機構であるが、磁歪や透磁率分散など別機構との切り分けのためには、幾何・絶縁・抵抗率を制御した系統比較と、MBN・空間分解観測を組み合わせた検証が要点である。