物理学の模型一覧

本項は、物理学で広く用いられる○○模型を分野横断で整理し、前提・数式・適用範囲・限界と拡張を一体として記述するものである。模型を分類するための軸を先に与え、各模型がどの軸で何を捨象し、何を残しているのかが追跡できるように構成するものである。

参考ドキュメント

1. Review of Particle Physics, 2024-2025（CERN Document Server） https://cds.cern.ch/record/2907603?ln=en

2. Jones, R. O., Density functional theory: Its origins, rise to prominence, and future（Rev. Mod. Phys. 87, 897 (2015)） https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.87.897

3. 物性物理学I 第8章 ハバード模型（東京大学 講義ノート） https://www.gakushuin.ac.jp/~881791/Butsurisui8.pdf

模型という語の使い方

物理学で模型と呼ぶものは、現象の生成機構を最小限の自由度で記述する理論的装置である。厳密解が得られない場合でも、対称性・保存則・スケール分離などの根拠に基づき、観測量の支配的寄与を抽出するために導入されるものである。

模型は、理論の階層と目的に応じて複数の型に分かれる。第一原理に近い微視的模型はパラメータが少なく汎用性が高いが計算が重くなりやすく、現象論模型は計算が軽い反面、パラメータ同定や適用範囲の明示が重要になる。

分類の軸

模型を体系的に分類するには、少なくとも次の軸が有効である。これらの軸は相互に独立ではなく、例えば有効理論であっても数値実装により微視的模型に迫ることがある。

軸	代表的な選択肢	判断の観点
自由度の粒度	場・準粒子・スピン・連続体	何を基本変数として追うかで、予測できる量が変わる
相互作用の扱い	平均場・摂動・非摂動	相関の強さや次元で破綻様式が変わる
スケール分離	低エネルギー有効・全帯域	観測スケールに対して不要な自由度を積分消去できるかが鍵である
対称性	連続・離散・ゲージ	相転移の型や保存量、保護された状態を規定する
乱れ・不均一性	無秩序なし・無秩序あり	散乱や局在、ガラス性が支配的になる領域がある
目的	概念理解・定量予測・設計指針	同じ現象でも選ぶ模型が変わることがある

分野別の模型群

以下では、分野ごとに代表的な○○模型を並べる。各模型は、(1)前提、(2)代表的な式、(3)適用範囲、(4)限界と拡張、の順で記述する。

素粒子・場の理論

標準模型

前提
標準模型は、強い相互作用・弱い相互作用・電磁相互作用を、ゲージ対称性 $SU(3{)}_C\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ により統一的に記述する枠組みである。物質場はクォークとレプトン、相互作用はゲージボソン、質量生成はヒッグス機構により表現される。

代表的な式
標準模型のラグランジアンは、概略として

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{SM}}=-\frac{1}{4}{G}_{\mu \nu }^a{G}^{a\mu \nu }-\frac{1}{4}{W}_{\mu \nu }^i{W}^{i\mu \nu }-\frac{1}{4}{B}_{\mu \nu }{B}^{\mu \nu }+\sum _{\psi }\overline{\psi }i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }\psi +|D_{\mu }\varphi {|}^2-V(\varphi )+{\mathcal{L}}_{\mathrm{Yukawa}}$$

で表される。ここで $\varphi$ はヒッグス二重項、$V(\varphi )=-{\mu }^2|\varphi {|}^2+\lambda |\varphi {|}^4$ が自発的対称性の破れを与え、Yukawa項がフェルミオン質量を与える。

適用範囲
現時点での高エネルギー実験の大部分は標準模型で説明され、特に電弱理論とQCDの精密検証が進んでいる。とはいえ、ニュートリノ質量・暗黒物質・バリオン非対称などは標準模型の範囲外であり、拡張が必要である。

限界と拡張
低エネルギーで新物理の効果を表すには、標準模型有効場理論（SMEFT）のように高次元演算子を加える拡張が用いられる。強結合領域では摂動論が破綻するため、格子QCDなどの非摂動手法が必要になる。

標準模型有効場理論（SMEFT）

前提
SMEFTは、標準模型があるカットオフスケール $\mathrm{\Lambda }$ まで有効であり、それより高エネルギーの自由度は積分消去されたとみなす立場に立つ。低エネルギーで観測される新物理効果は、高次元演算子の係数として現れる。

代表的な式
SMEFTの作用は

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{SMEFT}}={\mathcal{L}}_{\mathrm{SM}}+\sum _{d>4}\sum _i\frac{C_i^{(d)}}{{\mathrm{\Lambda }}^{d-4}}{\mathcal{O}}_i^{(d)}$$

と書かれる。次元6演算子が最初の主要補正となることが多く、精密測定と整合的に係数 $C_i$ を制限する。

適用範囲
新粒子を直接生成できないエネルギー領域でも、微小なずれとして新物理を探索できる。反対に、観測エネルギーが $\mathrm{\Lambda }$ に近づくと級数展開の収束が悪化し、解釈が難しくなる。

限界と拡張
演算子基底の取り方や再正規化群（RG）による混合を正しく扱わないと、係数の比較が不整合になる。特定のUV模型に落とす場合は、SMEFT係数へのマッチング計算が必要になる。

クォーク模型

前提
クォーク模型は、ハドロンをクォークの束縛状態として分類するための模型である。QCDが確立する以前から有効な分類原理を与え、現在もフレーバー対称性や多重項構造の理解に使われる。

代表的な式
バリオンは3クォーク、メソンはクォーク・反クォークとして

$$|B⟩\sim |qqq⟩,|M⟩\sim |q\overline{q}⟩$$

の形で表現される。フレーバー $SU(3)$ の表現論により、八重項・十重項などが得られる。

適用範囲
スペクトルの体系化、量子数の同定、崩壊チャネルの選別に強い。反面、動力学的な束縛の起源はQCDに委ねられ、単独では定量予測が限定的である。

限界と拡張
多クォーク状態（テトラクォーク、ペンタクォーク）や分子状態は、単純な $qqq$ / $q\overline{q}$ の枠を超える。これらは有効模型（ポテンシャル模型、束縛系の有効理論）と併用して解釈される。

パートン模型

前提
パートン模型は、深部非弾性散乱などの高エネルギー過程で、ハドロン内部がほぼ自由な点状成分（パートン）として見えるという仮定に立つ。パートンはQCDではクォークとグルーオンとして具体化され、PDF（パートン分布関数）として定式化される。

代表的な式
運動学的に、ハドロン運動量 $P$ に対しパートンが $xP$ を担うとし、断面積は

$$\sigma \sim \sum _i{\int }_0^{1}dx{f}_i(x,Q^2){\hat{\sigma }}_i(x,Q^2)$$

の因子化で表される。$f_i$ の $Q^2$ 依存はDGLAP方程式で与えられる。

適用範囲
高エネルギー散乱の定量解析に不可欠であり、衝突型加速器の事象生成と直結する。因子化が成立しない領域や小$x$ の領域では、補正や別の有効理論が必要になる。

限界と拡張
高密度グルーオン領域では飽和効果が重要になり、カラーグラス凝縮などの枠組みが用いられる。パートン模型自体は直観的だが、厳密な扱いはQCDの因子化定理に依存する。

Nambu–Jona-Lasinio（NJL）模型

前提
NJL模型は、4フェルミ相互作用により動的質量生成とカイラル対称性の自発的破れを記述する模型である。超伝導BCS理論との類推が明示的であり、強い相互作用の低エネルギー性質を有効に捉えるために用いられる。

代表的な式
基本形は

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{NJL}}=\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi +G[(\overline{\psi }\psi {)}^2+(\overline{\psi }i{\gamma }_5\overrightarrow{\tau }\psi {)}^2]$$

である。平均場近似によりギャップ方程式が導かれ、動的質量 $M$ が自己無撞着に決まる。

適用範囲
カイラル対称性の破れ、メソンの低エネルギー性質、有限温度・有限密度の相構造の質的理解に強い。QCDの閉じ込めそのものは含まれないため、そこに由来する現象は別途扱う必要がある。

限界と拡張
紫外発散の扱いが本質的にレギュレータ依存となり、$\mathrm{\Lambda }$ と結合定数の取り方が物理入力に依存する。ポリヤコフループと結合したPNJL模型などにより、閉じ込め指標を擬似的に取り込む拡張が行われる。

シグマ模型（線形・非線形）

前提
シグマ模型は、カイラル対称性とその破れを、スカラー場と擬スカラー場の多重項として表す有効模型である。低エネルギーのハドロン物理や、相転移の有効記述として現れる。

代表的な式
線形シグマ模型の一例は

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}[({\partial }_{\mu }\sigma {)}^2+({\partial }_{\mu }\overrightarrow{\pi }{)}^2]-\frac{\lambda }{4}{({\sigma }^2+{\overrightarrow{\pi }}^2-v^2)}^2+H\sigma$$

である。非線形シグマ模型では制約 ${\sigma }^2+{\overrightarrow{\pi }}^2=f_{\pi }^2$ を課し、自由度を角度変数に縮約する。

適用範囲
ゴールドストーン粒子としてのパイ中間子の性質を自然に表し、カイラル摂動論の直観とも整合する。相転移近傍の有効自由度としても用いられ、臨界現象の解析にもつながる。

限界と拡張
結合定数の値や高エネルギー自由度の扱いは有効理論としての入力に依存する。ゲージ場やフェルミオンとの結合、有限温度効果の取り込みなどで多様な拡張が存在する。

MITバッグ模型

前提
バッグ模型は、クォークが有限領域（バッグ）に閉じ込められ、外部は真空として区別されるという像を用いる模型である。閉じ込めを有効な境界条件と体積エネルギー（バッグ定数）で表す点に特徴がある。

代表的な式
エネルギーは概念的に

$$E(R)\approx \sum _n\frac{{\omega }_n}{R}+\frac{4\pi }{3}B{R}^3+E_{\mathrm{surf}}+\cdots$$

の形で書かれる。$B$ が真空エネルギー差を表し、最小化条件で安定半径 $R$ が決まる。

適用範囲
ハドロン質量の粗い見積もり、クォーク閉じ込めの直観的理解に有用である。QCDの第一原理的導出ではないため、精密なスペクトルや崩壊幅は別の方法が必要になる。

限界と拡張
境界条件の取り方やカイラル対称性との整合が課題となることがある。カイラルバッグ模型などで、低エネルギーのメソン自由度と整合させる試みが行われている。

格子ゲージ理論（格子QCD）

前提
格子ゲージ理論は、時空を格子に離散化し、パス積分を数値的に評価することで強結合ゲージ理論を非摂動に扱う枠組みである。ゲージ不変性をリンク変数で保ちながら、連続極限で元の理論に戻ることを要請する。

代表的な式
Wilson作用の例は

$$S=\beta \sum _{◻}(1-\frac{1}{N}\mathrm{Re}\mathrm{Tr}{U}_{◻}),\beta =\frac{2N}{g^2}$$

である。観測量はモンテカルロにより期待値として評価され、有限温度・有限密度などへの拡張も議論される。

適用範囲
ハドロンスペクトル、行列要素、熱的性質などを第一原理に近い形で扱える。有限密度では符号問題が深刻であり、直接計算が難しい領域が残る。

限界と拡張
有限格子間隔と有限体積の外挿が必要であり、系統誤差の管理が核心となる。改良作用や異なるフェルミオン離散化（Wilson、staggered、domain-wallなど）で誤差を抑える戦略が発展している。

原子・電子構造・密度汎関数

ボーア模型

前提
ボーア模型は、水素原子のスペクトルを古典軌道と量子条件の折衷で説明する模型である。角運動量量子化 $L=n\hslash$ と放射は遷移で生じるという仮定を置く。

代表的な式
クーロン力と向心力の釣り合いから半径

$$r_n=a_0{n}^2,a_0=\frac{4\pi {ϵ}_0{\hslash }^2}{m{e}^2}$$

が得られる。エネルギーは

$$E_n=-\frac{m{e}^4}{2(4\pi {ϵ}_0{)}^2{\hslash }^2}\frac{1}{n^2}$$

となり、リュードベリ公式に一致する。

適用範囲
水素様原子のエネルギー準位の基本構造を説明するには十分である。微細構造や多電子効果は含まれず、量子力学（シュレディンガー方程式やディラック方程式）に置き換わる。

限界と拡張
軌道の概念自体が量子力学と整合しないため、波動関数に基づく描像が必要になる。歴史的には旧量子論としての位置づけであり、現代では導入の比喩として用いられる。

トーマス–フェルミ（Thomas–Fermi）模型

前提
トーマス–フェルミ模型は、電子密度 $n(\mathbf{r})$ を基本変数とし、運動エネルギーを一様電子気体の局所近似で評価する密度汎関数型の模型である。電子を独立粒子の波動関数ではなく密度で粗視化し、原子・固体の電荷分布を半古典的に扱う。

代表的な式
代表的なエネルギー汎関数は

$$E[n]=C_{\mathrm{F}}\int d^{3}rn(\mathbf{r}{)}^{5/3}+\int d^{3}r{V}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{r})n(\mathbf{r})+\frac{e^2}{2}\int d^{3}r{d}^3{r}^{\prime }\frac{n(\mathbf{r})n({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$$

である。汎関数微分 $\delta E/\delta n=\mu$ からトーマス–フェルミ方程式が得られ、化学ポテンシャル $\mu$ により粒子数が固定される。

適用範囲
原子番号が大きい系の平均的な電荷分布、遮蔽長、スケーリング則の理解に有用である。結合の方向性、殻構造、化学結合の詳細は表現できず、定量計算には改良が必要である。

限界と拡張
交換相関がないため、エネルギーや密度の精度が不足することがある。トーマス–フェルミ–ディラック（交換）や、密度勾配補正（Weizsäcker項）を加えた拡張で改善される。

トーマス–フェルミ遮蔽（Thomas–Fermi screening）

前提
トーマス–フェルミ遮蔽は、金属中の静的遮蔽を、密度応答の長波長極限で近似する模型である。外部ポテンシャルに対する電子密度変化を $\delta n\approx (\partial n/\partial \mu )\delta \mu$ と線形化する。

代表的な式
静的遮蔽波数 $k_{\mathrm{TF}}$ は

$$k_{\mathrm{TF}}^2=\frac{e^2}{{ϵ}_0}\frac{\partial n}{\partial \mu }$$

で定義され、遮蔽ポテンシャルは概念的に $V(r)\sim (e^{-k_{\mathrm{TF}}r})/r$ の形をとる。これはRPAの $q\to 0$ 極限と整合する。

適用範囲
金属の長距離クーロン相互作用が短距離化する直観を与える。強相関や低次元系、動的応答では、より精密な誘電関数が必要になる。

限界と拡張
トーマス–フェルミは静的・長波長の近似であり、$2k_{\mathrm{F}}$ 近傍の特異性（フリーデル振動など）は十分に扱えない。RPA、Lindhard関数、局所場補正などが拡張として用いられる。

デバイ–ヒュッケル（Debye–Hückel）模型

前提
デバイ–ヒュッケル模型は、電解質や弱結合プラズマで、電荷密度が平均場的に遮蔽されるという立場に立つ。ポアソン方程式とボルツマン分布を線形化して閉じる。

代表的な式
電位 $\varphi$ は

$${\mathrm{\nabla }}^2\varphi ={\kappa }^2\varphi ,\kappa =\frac{1}{{\lambda }_{\mathrm{D}}}$$

を満たし、遮蔽長 ${\lambda }_{\mathrm{D}}$ がデバイ長である。点電荷の電位は $e^{-\kappa r}/r$ 型となり、長距離相互作用が実効的に短距離化する。

適用範囲
弱結合条件（クーロン相互作用より熱揺らぎが優勢）でよく働く。強結合プラズマや高濃度電解質では相関が強く、線形化が破綻する。

限界と拡張
短距離相関やサイズ効果は含まれないため、イオン相関を含む理論（HNC近似など）や分子動力学に頼る領域がある。電気二重層などの界面問題では、非線形ポアソン–ボルツマン方程式が必要になる。

ジェリウム（jellium）模型

前提
ジェリウム模型は、正電荷背景を一様に塗りつぶし、その中を電子が運動する一様電子気体として金属を近似する。イオンの離散性を捨象し、電子相関と遮蔽の物理に焦点を当てる。

代表的な式
ハミルトニアンは

$$H=\sum _i\frac{p_i^2}{2m}+\frac{1}{2}\sum _{i\ne j}\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j|}+E_{\mathrm{back}}$$

で書ける。無限系では密度パラメータ $r_s$ により相関の強さが支配される。

適用範囲
金属の普遍的性質（交換相関、プラズモン、遮蔽）の理解に適している。結晶ポテンシャルやバンド構造の効果は含まれないため、材料固有の定量性は限定される。

限界と拡張
現実材料に近づけるには、擬ポテンシャル法や周期ポテンシャルを導入する必要がある。密度汎関数理論の局所密度近似（LDA）は、ジェリウムの交換相関エネルギーが基礎になっている。

自由電子模型とほぼ自由電子模型

前提
自由電子模型は、金属電子を相互作用のないフェルミ気体として扱う。ほぼ自由電子模型は、結晶周期ポテンシャルを弱い摂動として加え、ブリルアンゾーン境界でギャップが開く機構を捉える。

代表的な式
自由電子の分散は

$$\epsilon (\mathbf{k})=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$$

である。周期ポテンシャル $V_{\mathbf{G}}$ により、$\mathbf{k}$ と $\mathbf{k}-\mathbf{G}$ が混合し、縮退点でエネルギー分裂が生じる。

適用範囲
アルカリ金属のように散乱が弱い場合の輸送や比熱の直観を与える。遷移金属の $d$ 電子のように局在性や相関が強い場合には不十分になりやすい。

限界と拡張
電子相関は平均場以上の扱いが必要であり、ハバード模型などへ移行することが多い。スピン軌道相互作用やトポロジーを扱うには、追加項や多バンド化が必要になる。

近接束縛（tight-binding）模型

前提
tight-binding模型は、原子軌道の線形結合（LCAO）によりバンドを構成する立場に立ち、電子がサイト間をホッピングする像で表す。局在性が強い場合や、結晶対称性を保った最小モデルの構築に適している。

代表的な式
単純には

$$H=\sum _i{ϵ}_i{c}_i^{†}{c}_i-\sum _{⟨ij⟩}{t}_{ij}(c_i^{†}{c}_j+c_j^{†}{c}_i)$$

である。多軌道化やスピン軌道相互作用は、行列要素を増やすことで取り込む。

適用範囲
バンドトポロジーの議論、表面状態、欠陥や不純物の局所状態の理解に強い。第一原理からのパラメータ化（Wannier化など）により定量性を高めることも可能である。

限界と拡張
パラメータ $t_{ij}$ の同定が恣意的になると、予測の信頼性が落ちる。電子相関を入れる場合はハバード項 $U$ を加え、強相関模型へ拡張される。

クローニッヒ–ペニー模型

前提
クローニッヒ–ペニー模型は、周期的な矩形ポテンシャルで結晶ポテンシャルを模擬し、バンド形成の仕組みを解析的に示す模型である。複雑な材料固有性よりも、バンドギャップ生成とブロッホ定理の帰結に焦点を当てる。

代表的な式
一次元で、格子定数 $a$ の周期ポテンシャル $V(x)$ に対するシュレディンガー方程式を解き、分散関係が

$$\cos (ka)=F(E)$$

の形で与えられる。$|F(E)|\le 1$ が許容帯、$|F(E)|>1$ が禁止帯を与える。

適用範囲
バンドの概念を明示的に学ぶのに適し、ギャップがブリルアンゾーン境界で生じる理由を直接示す。現実の多次元・多軌道材料への定量的適用は目的外である。

限界と拡張
ポテンシャル形状を変えても定性的結論は保たれるが、細部は材料に依存する。多次元化やtight-bindingとの対比により、より現実的な理解に進められる。

$k\cdot p$ 模型

前提
$k\cdot p$ 模型は、バンド端近傍の電子状態を、既知の ${\mathbf{k}}_0$ 点の固有状態から摂動展開して有効ハミルトニアンを得る方法である。対称性が強く制約し、少数のパラメータで有効質量や有効スピン軌道結合が表現される。

代表的な式
基本は

$$H(\mathbf{k})=H({\mathbf{k}}_0)+\frac{\hslash }{m}(\mathbf{k}-{\mathbf{k}}_0)\cdot \mathbf{p}+\cdots$$

であり、縮退したバンドでは縮退摂動により行列形式の有効模型が得られる。半導体の有効質量近似やディラック点近傍の線形分散の導出に直結する。

適用範囲
ギャップ近傍の有効質量、異方性、スピン軌道による分裂などを解析しやすい。広いエネルギー範囲では高次の寄与が効き、パラメータ数が増える。

限界と拡張
遠方バンドの寄与は有効パラメータに繰り込まれるため、入力が不十分だと不定性が増える。第一原理計算と組み合わせ、バンド構造からパラメータを抽出することで信頼性が上がる。

統計物理・相転移・臨界

イジング模型

前提
イジング模型は、二値スピン $s_i=\pm 1$ を格子上に置き、隣接相互作用で秩序形成を記述する模型である。最小の自由度で相転移を持つため、臨界現象の基本例として重用される。

代表的な式
ハミルトニアンは

$$H=-J\sum _{⟨ij⟩}{s}_i{s}_j-h\sum _i{s}_i$$

である。次元や格子により相転移の有無が変わり、2次元正方格子では厳密解が知られる。

適用範囲
強磁性・二元合金・格子気体など多様な問題に写像できる。連続対称性や位相欠陥が本質となる問題には、XY模型などが適する。

限界と拡張
実材料のスピンはベクトルであることが多く、イジングは異方性が極めて強い極限に相当する。長距離相互作用、無秩序、量子効果を入れた拡張（量子イジングなど）で多くの現象に接続される。

XY模型

前提
XY模型は、平面内の角度自由度 ${\theta }_i$ を持つ連続スピンを用い、位相の秩序と渦欠陥の物理を捉える模型である。二次元では自発的対称性の破れではなく、BKT転移が現れる点が特徴である。

代表的な式
典型的には

$$H=-J\sum _{⟨ij⟩}\cos ({\theta }_i-{\theta }_j)$$

である。低温ではスピン波が支配し、高温では渦の非束縛が相関長を短くする。

適用範囲
薄膜超流動、二次元超伝導、二次元磁性などの位相秩序の理解に直結する。三次元では通常の連続対称性の相転移となり、臨界指数が変わる。

限界と拡張
異方性が強い場合はイジング極限へ連続的に移行する。ゲージ場と結合したモデルは、超伝導相転移のより現実的記述につながる。

ハイゼンベルグ模型

前提
ハイゼンベルグ模型は、ベクトルスピン ${\mathbf{S}}_i$ の交換相互作用で磁性を記述する。量子スピンとしても古典スピンとしても定義でき、反強磁性やフラストレーションの基礎模型となる。

代表的な式
ハミルトニアンは

$$H=J\sum _{⟨ij⟩}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_j-\sum _i\mathbf{h}\cdot {\mathbf{S}}_i$$

である。$J>0$ は反強磁性、$J<0$ は強磁性を与え、格子幾何により基底状態が大きく変わる。

適用範囲
磁性体の低エネルギー記述、スピン波理論、量子スピン液体の探索に用いられる。電荷自由度が重要な系では、ハバード模型などのより微視的模型が必要になる。

限界と拡張
実材料では異方性、Dzyaloshinskii–Moriya相互作用、双二次相互作用などが重要なことがある。これらは対称性に許された項としてハミルトニアンに追加される。

ポッツ模型

前提
ポッツ模型は、$q$ 状態を持つ離散変数 ${\sigma }_i\in \{1,\dots ,q\}$ を用い、イジング模型（$q=2$）を一般化した模型である。相転移の次数や臨界性が $q$ と次元により変わり、普遍性の理解に役立つ。

代表的な式
典型的には

$$H=-J\sum _{⟨ij⟩}{\delta }_{{\sigma }_i,{\sigma }_j}$$

である。$q$ が大きいと一次相転移に近づく例があり、秩序パターンの多様性を表す。

適用範囲
多成分秩序、クラスタ形成、統計的分類問題の抽象化などに用いられる。連続対称性やトポロジカル欠陥の議論には、別の模型が適する。

限界と拡張
実系への写像では、$q$ の物理的意味づけが必要になる。無秩序や長距離相互作用を加える拡張で、ガラス性や複雑系の性質に接続される。

パーコレーション模型

前提
パーコレーション模型は、格子のサイトやボンドが確率 $p$ で占有されるときの連結性を調べる幾何学的模型である。臨界確率 $p_c$ を境に無限クラスタが出現し、連結性の相転移が起きる。

代表的な式
占有確率 $p$ を制御変数とし、巨大クラスタの確率やサイズ分布が臨界指数で特徴づけられる。物理量としての導電率などを結びつけると、輸送の臨界性も議論できる。

適用範囲
多孔質媒体の浸透、導電ネットワーク、破壊、感染拡大の抽象化などに広く使われる。相互作用のある自由度を含む場合は、イジング型の統計模型との結合が必要になる。

限界と拡張
単純パーコレーションは独立占有を仮定するため、相関を伴う現象では補正が必要になる。相関パーコレーションや、ランダムクラスター表現（Fortuin–Kasteleyn）などが接続を与える。

エドワーズ–アンダーソン（EA）模型とシュリントン–カークパトリック（SK）模型

前提
スピンガラスは、相互作用の符号と大きさが無秩序に分布し、競合によりフラストレーションが生じる系である。EA模型は短距離無秩序、SK模型は無限範囲相互作用（平均場）の模型として位置づく。

代表的な式
EA模型は

$$H=-\sum _{⟨ij⟩}{J}_{ij}{s}_i{s}_j$$

で、$J_{ij}$ がランダムである。SK模型は全結合

$$H=-\sum _{i<j}{J}_{ij}{s}_i{s}_j,J_{ij}\sim \mathcal{N}(0,J^2/N)$$

を用い、レプリカ法などで解析される。

適用範囲
ガラス相の秩序パラメータ（重なり）、履歴性、遅い緩和などの理論的理解に用いられる。現実の材料では、磁性以外の自由度が絡むため、適切な写像の設計が重要になる。

限界と拡張
SK模型は平均場として強い解析力を持つ一方、有限次元での挙動とは差が出ることがある。量子スピンガラスや、連続スピン版など、多様な拡張が研究されている。

ランダムウォーク模型とブラウン運動

前提
ランダムウォークは、独立な確率ステップの累積として拡散を表す模型である。ブラウン運動は連続時間極限として定式化され、確率過程の基本例になる。

代表的な式
一次元の位置 $x(t)$ は平均 $0$、分散が

$$⟨x(t{)}^2⟩=2Dt$$

に従う。連続極限ではフォッカー–プランク方程式やランジュバン方程式と同値になる。

適用範囲
拡散現象、金融の確率過程、ポリマー統計などに広く現れる。相互作用や制約が強い場合は、自己回避歩行や異常拡散模型が必要になる。

限界と拡張
単純ランダムウォークはガウス性とマルコフ性に依存するため、長期相関を持つ系では破綻する。連続時間ランダムウォーク（CTRW）や分数階拡散方程式などが拡張として用いられる。

KPZ模型

前提
KPZ（Kardar–Parisi–Zhang）模型は、界面成長の高さ場 $h(\mathbf{x},t)$ の確率的時間発展を記述する。非線形項が勾配に依存した成長速度を表し、普遍的なスケーリング則を与える。

代表的な式
KPZ方程式は

$$\frac{\partial h}{\partial t}=\nu {\mathrm{\nabla }}^{2}h+\frac{\lambda }{2}(\mathrm{\nabla }h{)}^2+\eta (\mathbf{x},t)$$

である。$\eta$ は白色雑音として扱われることが多いが、相関雑音への拡張もある。

適用範囲
薄膜成長、燃焼 фронト、細菌コロニー成長など、多様な界面問題に普遍性として現れる。厳密解が得られるのは特別な条件に限られ、多くは数値・確率解析に依存する。

限界と拡張
パラメータの物理的同定には、実系の微視モデルからの導出が重要になる。異方性、保存則、非局所性を入れた拡張で普遍クラスが変わりうる。

砂山模型（BTW模型）

前提
Bak–Tang–Wiesenfeld模型は、自己組織化臨界性（SOC）の概念を示すための離散模型である。局所に砂粒を加え、閾値を超えると周辺へ崩落する規則を繰り返すことで、外部パラメータ調整なしに臨界的な雪崩分布が現れる。

代表的な式
状態は各サイトの高さ $z_i$ で表し、$z_i\ge z_c$ でトップリングして近傍に砂を配る。雪崩サイズ $s$ の分布が $P(s)\sim s^{-\tau }$ 型になることがSOCの指標になる。

適用範囲
臨界性が自己組織化されるという考え方の原型として重要である。現実の複雑系への直接適用では、駆動と散逸の形が異なるため、模型の対応関係を慎重に設計する必要がある。

限界と拡張
単純砂山は格子・閾値・局所ルールに依存する部分もあり、普遍性の範囲は自明ではない。確率的トップリングや連続体極限などで多様な拡張が存在する。

強相関電子・格子・トポロジー

ハバード模型

前提
ハバード模型は、サイト間ホッピングとオンサイト反発 $U$ の競合により、バンド描像と局在描像の間の物理を記述する。金属–モット絶縁体転移、反強磁性、非従来型超伝導の議論で中心的である。

代表的な式
基本形は

$$H=-t\sum _{⟨ij⟩,\sigma }(c_{i\sigma }^{†}{c}_{j\sigma }+c_{j\sigma }^{†}{c}_{i\sigma })+U\sum _i{n}_{i\uparrow }{n}_{i\downarrow }-\mu \sum _{i,\sigma }{n}_{i\sigma }$$

である。$U/t$ と充填率が相図を支配し、次元と格子幾何が定性的振る舞いを変える。

適用範囲
遷移金属酸化物、冷却原子光格子、層状物質など、相関が重要な系の最小模型として使える。定量性を高めるには、実材料の多軌道性や長距離相互作用を取り込む必要がある。

限界と拡張
2次元では強相関の非摂動性が強く、解析はDMFT、DQMC、テンソルネットワークなどを要する。拡張ハバード（最近接反発 $V$）や多軌道ハバードで現実性を上げる。

ボース・ハバード模型

前提
ボース・ハバード模型は、格子上のボソンがホッピングし、オンサイト相互作用 $U$ を持つ状況を記述する。超流動とモット絶縁体の量子相転移を最小自由度で表す。

代表的な式
ハミルトニアンは

$$H=-t\sum _{⟨ij⟩}(b_i^{†}{b}_j+b_j^{†}{b}_i)+\frac{U}{2}\sum _i{n}_i(n_i-1)-\mu \sum _i{n}_i$$

である。整数充填で $U/t$ を増やすとモット相が現れ、位相剛性が失われる。

適用範囲
冷却原子の光格子実験と対応が良く、量子相転移の標準例である。実材料のボソン（励起子、対形成）への写像では、寿命や散逸の効果が重要になることがある。

限界と拡張
長距離相互作用を持つ場合は密度波や超固体が現れ、拡張ボース・ハバードが必要になる。散逸を含むと非平衡定常状態の理論となり、リンドブラッド方程式などへ接続される。

$t$–$J$ 模型

前提
$t$–$J$ 模型は、強結合ハバード模型（$U\gg t$）の低エネルギー有効模型として導かれ、二重占有を禁じた空間で電荷とスピンの運動が結びつく。高温超伝導の最小模型として歴史的に重要である。

代表的な式
二重占有を投影して

$$H=-t\sum _{⟨ij⟩,\sigma }({\tilde{c}}_{i\sigma }^{†}{\tilde{c}}_{j\sigma }+\mathrm{h}.\mathrm{c}.)+J\sum _{⟨ij⟩}({\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_j-\frac{1}{4}{n}_i{n}_j),J=\frac{4t^2}{U}$$

が得られる。投影演算子の存在が計算を難しくし、非摂動的手法が必要になる。

適用範囲
ドーピングされた反強磁性背景でのキャリア運動とスピン揺らぎの結合を表す。実物質では次近接ホッピングや多軌道性が効くため、最小模型からの逸脱を評価する必要がある。

限界と拡張
有効模型の導出は $t/U$ 展開に基づくため、$U$ が十分大きくない場合の定量性は落ちる。$t^{\prime }$ などを加えた $t$–$t^{\prime }$–$J$ 模型や、三サイト項を含めた改良が議論される。

アンダーソン不純物模型

前提
アンダーソン不純物模型は、局在準位と伝導帯の混成、および局在準位上のクーロン反発 $U$ により、局在磁気モーメントの形成と消失を記述する。近藤効果の微視的出発点としても中心的である。

代表的な式
ハミルトニアンは

$$H=\sum _{k\sigma }{ϵ}_k{c}_{k\sigma }^{†}{c}_{k\sigma }+\sum _{\sigma }{ϵ}_d{d}_{\sigma }^{†}{d}_{\sigma }+U{n}_{d\uparrow }{n}_{d\downarrow }+\sum _{k\sigma }(V_k{c}_{k\sigma }^{†}{d}_{\sigma }+\mathrm{h}.\mathrm{c}.)$$

である。混成幅 $\mathrm{\Gamma }$ と $U$ の比がモーメント形成を支配する。

適用範囲
希薄磁性不純物、量子ドット、重い電子系の局所相関の理解に用いられる。多軌道化すると結晶場やフント結合が効き、さらに多彩な現象が現れる。

限界と拡張
低温の強相関領域は解析的に難しく、NRG、CT-QMCなどの数値手法が重要になる。周期化した周期アンダーソン模型は、重い電子金属の格子版として用いられる。

近藤模型

前提
近藤模型は、局在スピンと伝導電子スピン密度の交換結合により、抵抗極小やスクリーニングを説明する。アンダーソン模型からシュリーファー–ウォルフ変換で導かれる低エネルギー模型として位置づく。

代表的な式
基本形は

$$H=\sum _{k\sigma }{ϵ}_k{c}_{k\sigma }^{†}{c}_{k\sigma }+J\mathbf{S}\cdot \mathbf{s}(0),\mathbf{s}(0)=\frac{1}{2}\sum _{\alpha \beta }{c}_{0\alpha }^{†}{\mathit{\sigma }}_{\alpha \beta }{c}_{0\beta }$$

である。反強磁性結合 $J>0$ では近藤温度 $T_K$ でスクリーニングが起きる。

適用範囲
希薄合金の低温輸送、量子ドットのKondo共鳴、重い電子の基本機構の理解に有用である。格子版（Kondo格子）ではRKKY相互作用との競合で量子臨界性が現れる。

限界と拡張
多チャンネルや異方性、スピン軌道を含む場合は相図が複雑になる。非平衡近藤（電圧印加下）の解析では、Keldysh形式などが必要になる。

ファリコフ–キンバル模型

前提
ファリコフ–キンバル模型は、運動する電子と動かない局在電子の相互作用で相関と秩序を表す。ハバード模型より単純でありながら、電荷秩序や相分離などが現れる。

代表的な式
一例として

$$H=-t\sum _{⟨ij⟩}(c_i^{†}{c}_j+\mathrm{h}.\mathrm{c}.)+U\sum _i{n}_i^c{n}_i^f$$

である。$f$ 電子が静的変数として働き、無秩序問題に似た構造を持つ。

適用範囲
混成を無視できる局在–遍歴混在系の質的理解に向く。DMFTで厳密に解ける側面があり、理論検証にも使われる。

限界と拡張
局在電子が動く場合やスピン自由度が重要な場合には、モデル化が不足する。混成項を入れた拡張や、スピン付き版などが研究される。

ホルスタイン模型

前提
ホルスタイン模型は、電子が局所格子振動（フォノン）と結合することで、ポーラロン形成や電荷秩序を記述する。電子–格子相互作用を最小の形で取り込む模型として機能する。

代表的な式
典型的には

$$H=-t\sum _{⟨ij⟩,\sigma }(c_{i\sigma }^{†}{c}_{j\sigma }+\mathrm{h}.\mathrm{c}.)+{\omega }_0\sum _i{b}_i^{†}{b}_i+g\sum _{i,\sigma }(b_i^{†}+b_i)n_{i\sigma }$$

である。結合 $g$ が強いと自己束縛が起き、移動度が低下する。

適用範囲
電荷密度波、ポーラロン輸送、電子–格子起源の超伝導などの議論に用いられる。フォノンスペクトルや結合形が現実材料では多様であるため、適切な近似が必要になる。

限界と拡張
長波長フォノンとの結合や非局所結合は別模型（Fröhlich型など）で扱うことがある。電子相関（$U$）と併存する場合はホルスタイン–ハバード模型となり、競合が生じる。

SSH（Su–Schrieffer–Heeger）模型

前提
SSH模型は、一次元の交互結合（ダイマー化）と電子の結合により、ソリトンや端状態を記述する。バンドトポロジーの基本例として、対称性保護された端モードの理解に広く使われる。

代表的な式
一次元で

$$H=\sum _n[(t+\delta t)c_{n,A}^{†}{c}_{n,B}+(t-\delta t)c_{n,B}^{†}{c}_{n+1,A}+\mathrm{h}.\mathrm{c}.]$$

と書ける。$\delta t$ の符号で位相が変わり、開境界では端にゼロモードが現れる場合がある。

適用範囲
ポリアセチレンのソリトン励起、一次元トポロジカル絶縁体の教科書例として有効である。高次元や相互作用が強い場合は、位相分類が変わりうる。

限界と拡張
対称性（カイラル対称性など）が破れると端状態は保護されない。相互作用や無秩序を含むと、トポロジカル不変量の定義と安定性の議論が必要になる。

ハルデン模型

前提
ハルデン模型は、外部磁場やランダウ準位なしに量子ホール効果を実現する格子模型として提案された。蜂の巣格子上の次近接ホッピングに複素位相を入れ、時間反転対称性を破るが平均磁束はゼロにできる。

代表的な式
ハミルトニアンは概念的に

$$H=-t\sum _{⟨ij⟩}{c}_i^{†}{c}_j-t_2\sum _{⟨⟨ij⟩⟩}{e}^{i{\nu }_{ij}\varphi }{c}_i^{†}{c}_j+M\sum _i{\xi }_i{c}_i^{†}{c}_i$$

である。Chern数が非零となる相では、エッジにカイラル状態が現れる。

適用範囲
Chern絶縁体の最小模型として、トポロジカルバンド理論の出発点の一つである。実材料ではスピン、相互作用、実際の軌道構造を含める必要がある。

限界と拡張
位相の起源は有効な複素ホッピングに置き換えられており、微視的な生成機構は別途議論する。スピンを入れた時間反転対称な模型はケイン–メレ模型に接続される。

ケイン–メレ模型

前提
ケイン–メレ模型は、グラフェンの蜂の巣格子にスピン軌道相互作用を入れ、時間反転対称性を保った量子スピンホール相を示す。$Z_2$ 不変量による分類の基本例であり、スピン依存エッジ状態が保護される。

代表的な式
概念的には

$$H=-t\sum _{⟨ij⟩}{c}_i^{†}{c}_j+i{\lambda }_{\mathrm{SO}}\sum _{⟨⟨ij⟩⟩}{\nu }_{ij}{c}_i^{†}{s}_z{c}_j+\cdots$$

である。Rashba項などを加えるとスピン保存は破れるが、時間反転対称性が保たれれば $Z_2$ 位相は残る場合がある。

適用範囲
二次元トポロジカル絶縁体の標準的最小模型である。スピン軌道が弱い材料ではギャップが小さく、実現条件は材料設計に依存する。

限界と拡張
相互作用が強い場合は、バンド理論の $Z_2$ 指標だけでは不十分になることがある。相互作用を含むトポロジカル相（分数量子スピンホールなど）では、別の不変量や場の理論的記述が必要になる。

キタエフ模型

前提
キタエフ模型は、蜂の巣格子上の方向依存イジング型相互作用により、厳密可解な量子スピン液体を与える。スピンがマヨラナフェルミオンと ${\mathbb{Z}}_2$ ゲージ場に分解される点が核心である。

代表的な式
ハミルトニアンは

$$H=-\sum _{⟨ij{⟩}_{\gamma }}{J}_{\gamma }{S}_i^{\gamma }{S}_j^{\gamma },\gamma =x,y,z$$

である。磁場や摂動を入れると非可換任意子が現れる相が議論され、トポロジカル量子計算との関係も指摘される。

適用範囲
量子スピン液体、分数化励起、トポロジカル秩序の理論的実例として重要である。実材料では追加相互作用が不可避であり、キタエフ優勢領域の同定が研究の焦点となる。

限界と拡張
現実材料ではハイゼンベルグ項やΓ相互作用が混在し、純粋模型からのずれが相を変えることがある。これらを含むキタエフ–ハイゼンベルグ模型が実材料の解析に使われる。

超伝導・超流動・マクロ量子

BCS模型

前提
BCS理論は、フェルミ面近傍での有効引力によりクーパー対が凝縮し、励起にギャップが生じるという微視的機構を与える。秩序パラメータは対の振幅として現れ、長距離位相秩序が超伝導を特徴づける。

代表的な式
平均場ハミルトニアンは

$$H_{\mathrm{MF}}=\sum _{k\sigma }{\xi }_k{c}_{k\sigma }^{†}{c}_{k\sigma }-\sum _k(\mathrm{\Delta }{c}_{k\uparrow }^{†}{c}_{-k\downarrow }^{†}+{\mathrm{\Delta }}^{\ast }{c}_{-k\downarrow }{c}_{k\uparrow })+\frac{|\mathrm{\Delta }{|}^2}{V}$$

である。ギャップ方程式は

$$1=V\sum _k\frac{1}{2E_k}\tanh \left(\frac{E_k}{2k_{B}T}\right),E_k=\sqrt{{\xi }_k^2+|\mathrm{\Delta }{|}^2}$$

となる。

適用範囲
弱結合・等方的 $s$ 波の超伝導では定量性が高い。強結合、非等方ギャップ、強相関起源の超伝導では拡張理論（Eliashberg理論など）や別機構が必要になる。

限界と拡張
有効引力の起源をフォノンに求める場合、電子–フォノン結合と遅れ効果を含むEliashberg理論が自然な拡張になる。高温超伝導などでは、スピン揺らぎ機構や多軌道性が議論される。

ギンツブルグ–ランダウ（GL）模型

前提
GL理論は、秩序パラメータ場 $\psi (\mathbf{r})$ を導入し、自由エネルギーを局所的な汎関数として展開する現象論理論である。超伝導転移近傍では、対称性に基づく最小形で多くの性質が導ける。

代表的な式
自由エネルギーは

$$F[\psi ,\mathbf{A}]=\int d^{3}r[\alpha |\psi {|}^2+\frac{\beta }{2}|\psi {|}^4+\frac{1}{2m^{\ast }}{|(-i\hslash \mathrm{\nabla }-2e\mathbf{A})\psi |}^2+\frac{|\mathbf{B}{|}^2}{2{\mu }_0}]$$

である。変分によりGL方程式と超電流式が得られ、コヒーレンス長 $\xi$ と侵入長 $\lambda$ が定義される。

適用範囲
タイプI/IIの分類、渦糸、臨界磁場などを統一的に扱える。転移から遠い温度領域や強不均一系では、パラメータの温度依存や高次項が必要になることがある。

限界と拡張
GL係数 $\alpha ,\beta$ は微視理論により導出されうるが、材料依存である。多成分秩序（$p$ 波、$d$ 波、マルチバンド）では秩序パラメータがベクトル・行列化する。

ロンドン模型

前提
ロンドン模型は、超電流がベクトルポテンシャルに比例するという現象論関係でマイスナー効果を記述する。秩序パラメータの空間変化よりも、電磁応答の低エネルギー極限に焦点を当てる。

代表的な式
ロンドン方程式は

$${\mathbf{J}}_s=-\frac{n_s{e}^2}{m}\mathbf{A}$$

（適切なゲージ条件下）として書け、そこから

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{B}=\frac{1}{{\lambda }^2}\mathbf{B}$$

が得られる。侵入長 $\lambda$ により磁場が指数関数的に減衰する。

適用範囲
低周波・長波長の電磁応答、マイスナー状態の基本挙動に有効である。渦芯構造や転移近傍の揺らぎはGL理論の方が自然に扱える。

限界と拡張
ロンドン模型は秩序パラメータ振幅の変化を無視するため、コア近傍では破綻する。時間依存を入れたロンドン方程式や、二流体模型と組み合わせた応答が用いられる。

ジョセフソン接合のRSJ/RCSJ模型

前提
ジョセフソン接合は、位相差 $\phi$ と超電流 $I_s=I_c\sin \phi$ の関係で特徴づけられる。RSJは抵抗シャント、RCSJは抵抗と容量のシャントを含め、回路模型として動力学を与える。

代表的な式
RCSJの方程式は

$$I=I_c\sin \phi +\frac{\hslash }{2eR}\frac{d\phi }{dt}+C\frac{\hslash }{2e}\frac{d^2\phi }{d{t}^2}$$

である。電圧はジョセフソン関係 $V=(\hslash /2e)d\phi /dt$ で与えられる。

適用範囲
SQUIDや量子ビット回路の基本モデルとして不可欠である。ノイズ、非平衡準粒子、空間分布を扱う場合には、より詳細な微視理論が必要になる。

限界と拡張
単一位相変数への縮約は、接合が一様であることを仮定している。長接合ではサイン・ゴルドン方程式が現れ、フラックソンのダイナミクスを扱う。

グロス–ピタエフスキー（Gross–Pitaevskii）模型

前提
希薄弱相互作用ボース気体の凝縮体を、巨視的波動関数 $\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)$ で記述する平均場理論である。相互作用は接触相互作用 $g|\mathrm{\Psi }{|}^2$ として表される。

代表的な式
時間依存方程式は

$$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V_{\mathrm{ext}}(\mathbf{r})+g|\mathrm{\Psi }{|}^2]\mathrm{\Psi }$$

である。渦糸、ソリトン、励起スペクトルなどがこの方程式から導ける。

適用範囲
冷却原子BECのダイナミクス、超流動、渦格子の解析に適している。強相関ボソンや一次元の強結合領域では、揺らぎが支配的で平均場が破綻する。

限界と拡張
有限温度や非凝縮成分を入れるには、二流体模型や確率GPEなどが用いられる。量子揺らぎの効果はボゴリューボフ理論や場の理論で補正される。

輸送・誘電・緩和・確率過程

ドゥルード模型

前提
ドゥルード模型は、電子が緩和時間 $\tau$ で散乱される古典粒子として運動し、電気伝導を与えるとする。量子統計やバンド構造を捨象し、散乱の効果を一つの時間尺度にまとめる。

代表的な式
交流伝導度は

$$\sigma (\omega )=\frac{n{e}^2\tau }{m}\frac{1}{1-i\omega \tau }$$

である。直流では ${\sigma }_0=n{e}^2\tau /m$ となり、抵抗率は散乱率 $1/\tau$ に比例する。

適用範囲
単純金属の低周波輸送の基本構造を与え、光学応答のプラズマ周波数の導入にもつながる。温度依存や異方性、量子干渉が重要な場合は、ボルツマン輸送や量子輸送理論が必要になる。

限界と拡張
フェルミ面やバンド速度の情報がないため、材料固有性は十分に表せない。Drude–Lorentz模型やBoltzmannの緩和時間近似で、より現実的な周波数依存やバンド依存を取り込む。

ドゥルード–ローレンツ模型

前提
ドゥルード–ローレンツ模型は、自由キャリアのドゥルード項に加え、束縛電子の共鳴応答をローレンツ振動子として足し合わせる。誘電関数を観測データに合わせてパラメータ化する手段として用いられる。

代表的な式
誘電関数は

$$ϵ(\omega )={ϵ}_{\mathrm{\infty }}-\frac{{\omega }_p^2}{\omega (\omega +i\gamma )}+\sum _j\frac{f_j}{{\omega }_j^2-{\omega }^2-i{\gamma }_j\omega }$$

で表される。第一項は高周波極限、第二項が自由キャリア、和が共鳴吸収を表す。

適用範囲
光学測定のスペクトル分解に広く使われ、キャリア密度や散乱率の推定に役立つ。微視的機構を直接与えるものではないため、解釈には併行してバンド構造や散乱機構の議論が必要である。

限界と拡張
振動子の数や初期値によりフィットが多義的になりうる。Kramers–Kronig整合性や、既知の遷移選択則と整合するパラメータ化が重要になる。

ボルツマン輸送方程式（緩和時間近似）

前提
ボルツマン輸送は、分布関数 $f(\mathbf{k},\mathbf{r},t)$ の時間発展で輸送現象を扱う半古典理論である。散乱を衝突積分で表し、緩和時間近似では $f$ が局所平衡へ $\tau$ で戻ると仮定する。

代表的な式
定常・一様系では

$$-e\mathbf{E}\cdot {\mathbf{v}}_{\mathbf{k}}(-\frac{\partial f^0}{\partial \epsilon })=\frac{\delta f_{\mathbf{k}}}{{\tau }_{\mathbf{k}}}$$

となり、電気伝導度は

$${\sigma }_{\alpha \beta }=e^2\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}{v}_{\alpha }{v}_{\beta }{\tau }_{\mathbf{k}}(-\frac{\partial f^0}{\partial \epsilon })$$

で与えられる。

適用範囲
バンド構造と散乱の材料依存性を取り込めるため、熱電・異方輸送などの議論に強い。強乱れで準粒子概念が崩れる場合や、量子干渉が支配する低温では適用が難しい。

限界と拡張
${\tau }_{\mathbf{k}}$ のモデル化が結果を支配するため、散乱機構の物理入力が必要になる。Kubo公式や量子輸送（NEGF）へ接続して、より一般的に扱うことができる。

デバイ緩和模型

前提
デバイ緩和は、分極が単一の緩和時間で指数関数的に応答するという最小モデルである。双極子の回転拡散など、単純な過程での誘電緩和を表す。

代表的な式
複素誘電率は

$$ϵ(\omega )={ϵ}_{\mathrm{\infty }}+\frac{{ϵ}_s-{ϵ}_{\mathrm{\infty }}}{1+i\omega \tau }$$

である。損失は $\mathrm{Im}ϵ(\omega )$ が $\omega \tau \sim 1$ で極大を持つ。

適用範囲
単一緩和が支配する系では測定データの解析に使いやすい。実材料では緩和時間の分布が存在することが多く、Cole–Cole型などの拡張が必要になる。

限界と拡張
デバイ型からのずれは、相互作用・不均一性・拘束条件を反映することがある。緩和時間分布を導入する経験式や、微視的回転拡散模型が用いられる。

マクスウェル–ガーネット模型とブリュッゲマン模型

前提
複合材料の有効誘電率や有効透磁率を、母材中の介在物の体積分率で評価する有効媒質模型である。マクスウェル–ガーネットは希薄介在物、ブリュッゲマンは対称な混合を仮定する。

代表的な式
球状介在物の場合、マクスウェル–ガーネットは

$${ϵ}_{\mathrm{eff}}={ϵ}_m\frac{{ϵ}_i+2{ϵ}_m+2f({ϵ}_i-{ϵ}_m)}{{ϵ}_i+2{ϵ}_m-f({ϵ}_i-{ϵ}_m)}$$

の形で与えられる。ブリュッゲマンは自己無撞着条件として

$$f\frac{{ϵ}_i-{ϵ}_{\mathrm{eff}}}{{ϵ}_i+2{ϵ}_{\mathrm{eff}}}+(1-f)\frac{{ϵ}_m-{ϵ}_{\mathrm{eff}}}{{ϵ}_m+2{ϵ}_{\mathrm{eff}}}=0$$

を満たす。

適用範囲
微細構造を粗視化して有効物性を推定するのに便利である。介在物が高濃度で連結する場合や、形状が非球形の場合には補正が必要になる。

限界と拡張
界面層、異方性、サイズ効果、共鳴（メタマテリアル）などでは単純有効媒質が外れることがある。形状因子を入れた拡張や、数値電磁解析による検証が併用される。

ランジュバン模型

前提
ランジュバン方程式は、系の自由度に摩擦と確率力を加え、熱浴との結合を粗視化して表す。ミクロな自由度を消去した結果として、確率過程が現れるという立場である。

代表的な式
代表例として

$$m\frac{dv}{dt}=-\gamma v+\eta (t)$$

があり、白色雑音なら

$$⟨\eta (t)\eta (t^{\prime })⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-t^{\prime })$$

が成り立つ。これにより平衡での等分配が再現される。

適用範囲
ブラウン運動、磁気モーメントの熱揺らぎ、化学反応座標の確率ダイナミクスなどに用いられる。非平衡や色付き雑音では、相関関数の形を現象に合わせて選ぶ必要がある。

限界と拡張
摩擦と雑音の関係（揺らぎ散逸関係）が成立しない系では、単純形は不適切になる。一般化ランジュバン方程式（メモリ核）や、非ガウス雑音への拡張が使われる。

フォッカー–プランク模型

前提
フォッカー–プランク方程式は、確率分布 $P(x,t)$ の時間発展を偏微分方程式として表す。ランジュバン方程式の確率論的記述と等価であり、拡散とドリフトを同時に扱える。

代表的な式
一次元では

$$\frac{\partial P}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial x}[A(x)P]+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}[B(x)P]$$

である。定常分布や平均初通過時間など、確率量の解析が可能になる。

適用範囲
拡散支配の反応、活性化過程、ノイズ誘起遷移の解析に使われる。高次の飛び（レヴィ飛行）などが重要な場合は、分数階方程式が必要になる。

限界と拡張
マルコフ近似が成り立たないと、閉じた形の方程式にならないことがある。メモリ効果を含む非マルコフ方程式や、確率過程の上での数値積分が併用される。

格子振動・熱

アインシュタイン模型

前提
アインシュタイン模型は、固体中の原子が同一角振動数 ${\omega }_E$ の独立振動子として振動すると近似する。熱容量の量子化効果を最小の形で示し、デュロン＝プティ則からの低温でのずれを説明する。

代表的な式
内部エネルギーは

$$U=3N\hslash {\omega }_E(\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\hslash {\omega }_E/k_{B}T}-1})$$

であり、熱容量 $C_V=\partial U/\partial T$ が得られる。低温で指数関数的に減衰する点が特徴である。

適用範囲
光学フォノンが卓越する場合や、局在モードの近似として有用である。実固体の音響フォノンの連続スペクトルを表せないため、低温の $T^3$ 則は再現できない。

限界と拡張
フォノン分散を導入するデバイ模型が低温挙動を改善する。複数のアインシュタインモードを足し合わせる実用的フィットも用いられる。

デバイ模型

前提
デバイ模型は、固体の格子振動を弾性連続体の音響波として扱い、周波数カットオフ ${\omega }_D$ を導入して状態数を合わせる。低温での熱容量 $C_V\propto T^3$ を自然に導く点が重要である。

代表的な式
熱容量は

$$C_V=9N{k}_B{\left(\frac{T}{{\mathrm{\Theta }}_D}\right)}^3{\int }_0^{{\mathrm{\Theta }}_D/T}\frac{x^4{e}^x}{(e^x-1{)}^2}dx$$

である。${\mathrm{\Theta }}_D=\hslash {\omega }_D/k_B$ がデバイ温度であり、低温で $C_V\approx (12{\pi }^4/5)N{k}_B(T/{\mathrm{\Theta }}_D{)}^3$ となる。

適用範囲
音響フォノンが支配する低温熱容量の基礎を与える。光学フォノンや異方性、低次元材料では、単一デバイ温度では不十分になることがある。

限界と拡張
フォノン分散や分枝を第一原理や実験から入れると定量性が上がる。比熱のフィットでは、デバイ項とアインシュタイン項の混合が現実的なことが多い。

原子核

液滴模型

前提
液滴模型は、核をほぼ非圧縮の核液滴とみなし、体積・表面・クーロン・対・対称エネルギーの寄与で質量を表す。核子の平均的結合の性質を捉え、核分裂の直観を与える。

代表的な式
半経験的質量公式は

$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}+\delta (A,Z)$$

である。$\delta$ は偶奇性に由来する対エネルギー項である。

適用範囲
結合エネルギーの滑らかな系統性、核分裂障壁の質的理解に向く。殻効果や魔法数などの量子性は表現できず、殻模型が必要になる。

限界と拡張
液滴模型に殻補正を加えるマクロ–ミクロ法で、分裂や超重元素の議論が改善される。変形自由度を入れると、集団運動の解析に接続できる。

殻模型

前提
殻模型は、核子が平均場ポテンシャル中を運動し、量子準位を占有するという描像で核構造を表す。スピン–軌道相互作用の導入により魔法数が説明される。

代表的な式
核子の一体ハミルトニアン

$$H=\frac{p^2}{2m}+V(r)+V_{\mathrm{so}}\mathbf{l}\cdot \mathbf{s}$$

を基礎に、多体では残留相互作用を加える。有効相互作用の選び方がスペクトルの定量性を左右する。

適用範囲
低励起スペクトル、遷移確率、スピン・パリティの同定に強い。重い核ではモデル空間が巨大になり、切り詰めや有効理論が必要になる。

限界と拡張
平均場近似の破れ（集団変形、対相関）が強い場合は単純殻模型が難しい。モンテカルロ殻模型や、HFBなどの平均場＋相関の枠組みが用いられる。

光学模型

前提
光学模型は、核反応を、入射粒子が複素ポテンシャルで散乱される一体問題として記述する。虚部が吸収（他チャネルへの流出）を表し、反応断面積と散乱断面積を統一的に扱う。

代表的な式
シュレディンガー方程式

$$[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^2+V(r)+iW(r)]\psi =E\psi$$

を解き、位相シフトから断面積を得る。$W(r)$ の形はフェノメノロジーで調整されることが多い。

適用範囲
中性子・陽子散乱、核反応データの整理に広く用いられる。微視的な反応機構の詳細は含まれないため、チャネル結合模型などが必要になることがある。

限界と拡張
エネルギー依存性や非局所性が重要な場合、単純ポテンシャルでは不十分になる。分散関係を用いた分散光学模型で、実部と虚部の整合性を高める試みがある。

フェルミガス模型

前提
核内の核子を、平均的ポテンシャル中のフェルミ気体として扱う。運動量分布や準弾性散乱の基本的スケールを与える。

代表的な式
フェルミ運動量 $k_F$ により密度が

$$\rho =\frac{2}{(2\pi {)}^3}\frac{4\pi }{3}{k}_F^3$$

で与えられ、エネルギースケールは ${\epsilon }_F={\hslash }^2{k}_F^2/2m$ で定まる。パウリ遮蔽が反応の相空間を制約する。

適用範囲
高エネルギーでの粗い推定や、反応の位相空間因子の理解に使える。殻構造や相関は表せず、より精密なスペクトル関数が必要になる。

限界と拡張
短距離相関やテンソル相関は、単純フェルミガスでは表現できない。相関を取り込んだ分布関数や、グリーン関数法によるスペクトル関数が用いられる。

介在ボソン模型（IBM）

前提
介在ボソン模型は、偶偶核の低励起集団状態を、$s$ ボソンと $d$ ボソンとして有効に記述する。核子対の集団自由度に縮約することで、変形と振動の相を統一的に扱う。

代表的な式
ボソン演算子で構成したハミルトニアン

$$H={ϵ}_d{n}_d+\kappa Q\cdot Q+\cdots$$

が用いられ、対称性極限（$U(5),SU(3),O(6)$）で解析が進む。遷移率やスペクトルの系統性を表しやすい。

適用範囲
中重核の集団スペクトルの整理に有効である。微視的起源は殻模型にあり、対応づけには有効演算子の設計が必要になる。

限界と拡張
ボソン縮約の妥当性は核種に依存する。IBM-2のように陽子・中性子ボソンを区別する拡張で、より多様な現象が扱える。

宇宙・恒星・プラズマ・連続体

$\mathrm{\Lambda }$CDM模型

前提
$\mathrm{\Lambda }$CDMは、宇宙の大域的進化を、宇宙定数 $\mathrm{\Lambda }$（暗黒エネルギー）と冷たい暗黒物質（CDM）を含む標準的成分で記述する。大規模構造やCMBの観測を統合する最小模型として機能している。

代表的な式
フリードマン方程式は

$$H^2(a)=H_0^2({\mathrm{\Omega }}_r{a}^{-4}+{\mathrm{\Omega }}_m{a}^{-3}+{\mathrm{\Omega }}_k{a}^{-2}+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }})$$

である。密度パラメータ $\mathrm{\Omega }$ の推定はCMB、BAO、Ia超新星などの観測から得られる。

適用範囲
多くの宇宙論観測を少数パラメータで説明でき、宇宙論の基準枠となっている。小スケールでの緊張や、$H_0$ 緊張など、拡張を示唆する議論も続いている。

限界と拡張
暗黒物質と暗黒エネルギーの微視起源は与えない。$w$CDM、相互作用暗黒セクター、修正重力などの拡張が検討されている。

標準太陽模型

前提
標準太陽模型は、静水圧平衡、エネルギー輸送、核反応ネットワークを組み合わせて太陽内部構造を計算する。ヘリオ地震学やニュートリノ観測と照合され、恒星進化の基準になっている。

代表的な式
静水圧平衡は

$$\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm(r)\rho (r)}{r^2}$$

であり、質量保存 $dm/dr=4\pi r^2\rho$、エネルギー保存 $dL/dr=4\pi r^2\rho ϵ$ と組になる。輸送は放射または対流で扱い、放射輸送では温度勾配が不透明度により決まる。

適用範囲
太陽の半径・光度・表面組成を入力に、内部温度・密度分布やニュートリノ束を予測できる。金属量（組成）の更新により不透明度が変わり、観測との整合が課題となる領域がある。

限界と拡張
磁場、回転、混合などの効果は標準模型の外に置かれがちである。これらを入れた拡張恒星模型で、より精密な一致を目指す研究が進んでいる。

理想MHD（磁気流体）模型

前提
MHDは、荷電粒子の集合を一つの導電性流体として扱い、電磁場と流体の結合を記述する。理想MHDでは抵抗を無視し、磁力線凍結が成立すると仮定する。

代表的な式
基本方程式の一つは誘導方程式

$$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\times (\mathbf{v}\times \mathbf{B})+\eta {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{B}$$

であり、理想極限では $\eta \to 0$ である。運動方程式にはローレンツ力 $(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B})\times \mathbf{B}/{\mu }_0$ が加わる。

適用範囲
太陽風、惑星磁気圏、核融合プラズマの大域挙動などの理解に不可欠である。衝突が少ないプラズマでは、運動論的効果が支配しMHDだけでは不十分になる。

限界と拡張
磁気リコネクションの微視過程や、波動の減衰は運動論が必要になることがある。二流体MHDやホールMHDで、イオンと電子の相対運動を取り込む拡張が行われる。

Vlasov–Maxwell模型

前提
Vlasov方程式は、衝突を無視できる希薄プラズマで、分布関数 $f_s(\mathbf{r},\mathbf{v},t)$ の時間発展を記述する。電磁場はMaxwell方程式と自己無撞着に結合し、波動・不安定性・ランダウ減衰などを導く。

代表的な式
Vlasov方程式は

$$\frac{\partial f_s}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{r}}{f}_s+\frac{q_s}{m_s}(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot {\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}{f}_s=0$$

である。密度と電流は $f_s$ の速度積分で与えられ、それがMaxwell方程式のソースになる。

適用範囲
無衝突不安定性、波動分散、粒子加速などの解析に強い。多次元数値計算は高コストであり、粒子法（PIC）や縮約模型が併用される。

限界と拡張
衝突が無視できない場合はLandau衝突項などを加えたBoltzmann型の方程式が必要になる。乱流や大域MHDとの接続には、モーメント方程式やハイブリッド模型が用いられる。

二流体プラズマ模型

前提
イオン流体と電子流体を別々に扱い、電荷分離やホール効果を取り込む。MHDよりも短いスケールで重要な物理（イオン慣性長など）を表せる。

代表的な式
各種の連続の式と運動方程式を持ち、オーム則が一般化される。例えばホール項を含む形で

$$\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}=\eta \mathbf{J}+\frac{1}{ne}\mathbf{J}\times \mathbf{B}-\frac{1}{ne}\mathrm{\nabla }{p}_e+\cdots$$

が現れる。

適用範囲
磁気リコネクションの速度論的前段階、ホール効果が効く領域で有効である。さらに小さいスケールでは、分布関数の異方性や非マクスウェル性が支配し、運動論へ移行する。

限界と拡張
閉じた方程式系にするために状態方程式や熱輸送の近似が必要になる。ハイブリッドPIC（イオン粒子＋電子流体）などが中間模型として用いられる。

ポリトロープ模型

前提
ポリトロープ模型は、圧力と密度の関係を $P=K{\rho }^{1+1/n}$ と置き、自己重力天体の構造を簡略に記述する。指数 $n$ が輸送や状態方程式の性質を反映する有効パラメータとなる。

代表的な式
Lane–Emden方程式

$$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)=-{\theta }^n$$

が得られ、$\rho ={\rho }_c{\theta }^n$ として密度分布が求まる。白色矮星の極限や恒星の近似構造の議論に現れる。

適用範囲
解析解が得られる場合もあり、構造のスケーリングを理解するのに適している。精密な恒星モデルには、現実的な状態方程式と輸送が必要になる。

限界と拡張
単一のポリトロープ指数では、層構造や組成変化を表せない。区分ポリトロープや数値恒星進化コードで拡張される。

磁性・ヒステリシス・マクロ応答

ストーナー–ウォールファルト模型

前提
単一磁区粒子が一様回転で磁化反転すると仮定し、形状異方性や結晶異方性のあるエネルギー景観で反転場を求める。微視的な磁壁運動を捨象し、コヒーレント回転の極限を表す。

代表的な式
エネルギーは

$$E(\theta )=K{\sin }^2\theta -{\mu }_0{M}_{s}H\cos (\theta -\varphi )$$

のように書け、安定条件 $dE/d\theta =0$ と $d^{2}E/d{\theta }^2>0$ で反転場が決まる。容易軸に沿う場合、保磁力の角度依存が特徴的なアステロイドになる。

適用範囲
微小粒子磁性、記録媒体の基礎理解に使われる。多磁区化や磁壁ピン止めが支配的な系では適用が難しい。

限界と拡張
熱活性化が効くと確率的反転となり、Néel–Brown模型などが必要になる。相互作用粒子系では、相互作用場を含む平均場的拡張が用いられる。

プライザッハ（Preisach）模型

前提
プライザッハ模型は、ヒステリシスを多数の二値素子（リレー） $R_{\alpha ,\beta }$ の重ね合わせとして表す。履歴依存を演算子として定式化し、マイナーループの再現性に強みがある。

代表的な式
入力 $H(t)$ に対する出力 $M(t)$ を

$$M(t)={\iint }_{\beta \ge \alpha }\mu (\alpha ,\beta )R_{\alpha ,\beta }[H(t)]d\alpha d\beta$$

と書く。$\mu (\alpha ,\beta )$ が分布関数であり、実験データから同定される。

適用範囲
磁性材料のヒステリシス近似、アクチュエータの履歴補償などで用いられる。微視機構を直接表すものではないが、履歴演算子としての実用性が高い。

限界と拡張
分布関数の同定にはデータ品質と正則化が重要で、同定法により結果が変わることがある。ベクトルヒステリシスや動的効果を含む拡張が提案されている。

ジャイルズ–アサートン（Jiles–Atherton）模型

前提
ジャイルズ–アサートン模型は、磁化を可逆成分と不可逆成分に分け、磁壁ピン止めと平均場的結合を含めてヒステリシスを記述する。マイナーループや履歴性を比較的少数パラメータで再現できることを狙う。

代表的な式
無ヒステリシス（アナヒステリック）磁化 $M_a$ をランジュバン型関数で与え、

$$M_a=M_s(\coth \left(\frac{H_e}{a}\right)-\frac{a}{H_e}),H_e=H+\alpha M$$

のように書く。不可逆成分の微分方程式を加えて $M(H)$ を得る構成であり、パラメータ $a,\alpha ,k,c$ などが材料特性に対応する。

適用範囲
工学的なヒステリシス曲線の再現、磁気回路解析への組み込みに広く用いられる。材料の微視組織との一対一対応は一般に難しく、パラメータの解釈には注意が要る。

限界と拡張
高周波では渦電流や動的損失が加わり、静的JAだけでは不十分になる。動的拡張や、渦電流モデルと結合した形で損失を扱うことが行われる。

代表的模型の比較表

相転移・秩序に関わる模型

模型	自由度	対称性	主要現象	代表的制御変数
イジング	$s=\pm 1$	${\mathbb{Z}}_2$	自発磁化・臨界現象	$J/T$, $h/T$
XY	角度 $\theta$	$U(1)$	BKT転移・渦	$J/T$
ハイゼンベルグ	ベクトル $\mathbf{S}$	$SU(2)$	スピン波・反強磁性	$J/T$
ポッツ	$q$ 状態	離散	相転移次数の変化	$J/T$, $q$
パーコレーション	占有変数	幾何	連結性臨界	$p$
EA/SK	ランダム結合	離散/平均場	ガラス性	分布幅, $T$

電子相関・トポロジーに関わる模型

模型	基本自由度	相互作用	主要現象	典型的解析法
ハバード	電子	$U$	モット転移・磁性	DMFT, QMC, DMRG
ボース・ハバード	ボソン	$U$	超流動–モット	QMC, 平均場
$t$–$J$	投影電子	$J$	ドープAF・相関	DMRG, 変分
アンダーソン不純物	不純物＋帯	$U$	近藤・共鳴	NRG, CT-QMC
SSH	電子	ダイマー化	端状態	解析・数値
ハルデン	電子	複素ホップ	Chern相	バンド理論
ケイン–メレ	電子スピン	SO	$Z_2$ 相	バンド理論
キタエフ	量子スピン	方向依存	スピン液体	厳密解・数値

超伝導に関わる模型

模型	基本変数	役割	主に当たる温度域	主要出力
BCS	準粒子・ギャップ	微視機構	広い（弱結合）	$\mathrm{\Delta }(T)$, DOS
GL	秩序パラメータ場	現象論	$T_c$ 近傍	$\xi ,\lambda$, 渦
ロンドン	電磁応答	低エネルギー	低温・長波長	侵入長, マイスナー
RCSJ	位相	回路動力学	デバイス条件	I–V, 発振

ヒステリシス模型

模型	立場	長所	注意すべき点
ストーナー–ウォールファルト	一様回転	少数パラメータで反転場	多磁区・ピン止めは外
プライザッハ	演算子重ね合わせ	マイナーループ再現	分布同定に依存
ジャイルズ–アサートン	可逆＋不可逆	物理像を含む経験式	高周波は追加損失が要る

まとめと展望

○○模型は、自由度・対称性・スケール分離の選び方を通じて、現象の支配的機構を抽出するための言語である。異なる分野の模型であっても、平均場化、応答関数、非摂動、確率過程といった共通の操作が現れ、相互に移植可能な考え方が存在する。

今後は、(1)有効理論と第一原理計算の接続をより体系化し、模型のパラメータ同定を透明化する方向、(2)無秩序・非平衡・強結合を同時に扱うための数値・理論の融合、(3)トポロジーやゲージ構造などの抽象概念を材料設計へ落とす方向、が重要になる。模型の選択と改良を、観測スケールと誤差要因に応じて明示的に行うことが、学術的にも応用的にも鍵になる。

参考文献

• PDG Electroweak model and constraints on new physics（KEK/PDG） https://ccwww.kek.jp/pdg/2025/reviews/ewk_model.pdf
• Thomas–Fermiの歴史とDFT短期講座（G. K.-L. Chan） https://www.aqmatic.com/wp-content/uploads/2019/07/dft-chan.pdf
• Debye Model of Heat Capacity（BYU lecture notes） https://www.chem.byu.edu/faculty/harb/pdf/Chem_416/Debye.pdf
• Debye modelの日本語講義ノート（例：デバイ模型） https://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~taka/qm2/Debye.pdf
• Drude model lecture notes（例） https://www.physics.umd.edu/courses/Phys401/bedaque06/Drude.pdf
• Hubbard, J., Electron correlations in narrow energy bands（Proc. R. Soc. A, 1963） https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/276/1365/238/11567/Electron-correlations-in-narrow-energy-bands
• Arovas, D. P., The Hubbard Model（Annual Review, 2021 preprint） https://arxiv.org/pdf/2103.12097
• Kondo, J., Resistance Minimum in Dilute Magnetic Alloys（Prog. Theor. Phys., 1964） https://jmschwarztheorygroup.org/phy576/PHY576.KONDO.pdf
• Haldane, F. D. M., Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels（PRL, 1988） https://link.aps.org/pdf/10.1103/PhysRevLett.61.2015
• Kane, C. L. and Mele, E. J., Quantum Spin Hall Effect in Graphene（PRL, 2005） https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.95.226801
• Kitaev, A., Anyons in an exactly solved model and beyond（Annals of Physics, 2006） https://www.physics.rutgers.edu/~coleman/603/texts/kitaev_annals.pdf
• Su, W. P., Schrieffer, J. R., Heeger, A. J., Solitons in Polyacetylene（PRL, 1979） https://home.ustc.edu.cn/~zcj12138/reference/PhysRevLett.42.1698.pdf
• Holstein, T., Studies of Polaron Motion（Annals of Physics, 1959） https://lab.semi.ac.cn/download/0.6881535347083627.pdf
• Preisach, F., Über die magnetische Nachwirkung（Z. Phys., 1935） https://link.springer.com/article/10.1007/BF01349418
• Jiles, D. C., Theory of ferromagnetic hysteresis（J. Appl. Phys., 1984 invited） https://pubs.aip.org/aip/jap/article/55/6/2115/13220/Theory-of-ferromagnetic-hysteresis-invited
• MHDの日本語講義ノート（例） https://www-adsys.sys.i.kyoto-u.ac.jp/kuee/teaching/gmhd/mhd2010text.pdf
• Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters（A&A, 2020） https://arxiv.org/abs/1807.06209
• Vinyoles et al., A new generation of standard solar models（ApJ, 2017） https://arxiv.org/abs/1611.09867