LCRメータによる透磁率測定

LCRメータを用いた透磁率評価は、試料とコイルを電気的にインピーダンスとして測り、等価回路に基づいて磁気応答を推定する方法である。閉磁路（リング・トロイド）では反磁界と漏れ磁束の影響が小さく、開磁路（棒状・板状）では反磁界と漏れ磁束が支配的となるため、得られる透磁率の意味が根本的に異なる。

参考ドキュメント

1. HIOKI, How to Use an LCR Meter: Basic Knowledge / Equivalent circuit mode / Open & Short correction
   https://www.hioki.com/global/learning/usage/lcr-meters_2.html
   https://www.hioki.com/global/learning/usage/open-short-correction.html

2. IEC 60404-6 Ed. 3.1:2021（リング状試料による 20 Hz～100 kHz の磁気特性測定法）
   https://webdesk.jsa.or.jp/books/W11M0090/index/?bunsyo_id=IEC+60404-6+Ed.+3.1%3A2021

3. Keysight, 16454A Magnetic Material Test Fixture（インダクタンス法による透磁率測定の考え方）
   https://www.keysight.com/us/en/product/16454A/magnetic-material-test-fixture.html

1. 透磁率と小信号測定の位置づけ

透磁率は、磁束密度 $\mathbf{B}$ と磁場 $\mathbf{H}$ の比例関係を表す物性であり、線形近似が成立する範囲では $\mathbf{B}={\mu }_0{\mu }_r\mathbf{H}$ と書ける。ここで ${\mu }_0$ は真空透磁率、${\mu }_r$ は比透磁率であるが、強磁性体では磁区構造と非線形性のため、${\mu }_r$ は磁場振幅、直流バイアス、周波数、温度、応力に依存する量である。

LCRメータ測定は、一般に微小交流励振で行われ、動作点近傍の微分応答（増分透磁率）を与える。直流バイアスを重畳できる計測系では、バイアス磁場 $H_{\mathrm{DC}}$ 上での増分透磁率（インクリメンタル透磁率）を評価でき、電源用リアクトルや磁性部品設計に直結する情報となる。

2. 複素透磁率と損失の表現

交流磁化応答では、位相遅れと損失を含めて複素透磁率

$${\mu }^{\ast }(\omega )={\mu }^{\prime }(\omega )-j{\mu }^{″}(\omega )$$

で表すことが多い。${\mu }^{\prime }$ はエネルギーを蓄える成分、${\mu }^{″}$ は散逸（ヒステリシス損・渦電流損・緩和損など）を表す成分であり、周波数領域での損失角 $\delta$ は

$$\tan \delta =\frac{{\mu }^{″}}{{\mu }^{\prime }}$$

で定義される。

LCRメータが返す $Q$（品質係数）や $D$（損失係数）は、等価回路の取り方に依存するが、インダクタの直列等価表現では概ね $Q=X/R_{\mathrm{s}}$、$D=1/Q=R_{\mathrm{s}}/X$ の関係を持つ。したがって、電気的に観測された抵抗成分 $R_{\mathrm{s}}$ のうち、巻線抵抗以外の周波数依存成分を磁気損失として分離できると、${\mu }^{″}$ の推定に繋がる。

3. LCRメータが測る量と等価回路

LCRメータは、被測定物に交流信号を加えて端子電圧と電流から複素インピーダンス $Z$ と位相 $\theta$ を求める装置である。インピーダンスは

$$Z=R_{\mathrm{s}}+jX$$

と分解され、周波数 $f$ に対して角周波数 $\omega =2\pi f$ を用いる。

等価回路は直列（series）と並列（parallel）があり、同じ $Z$ を異なるパラメータ（$R_{\mathrm{s}},L_{\mathrm{s}}$ あるいは $R_{\mathrm{p}},L_{\mathrm{p}}$）として表示する。一般に $|Z|$ が低い領域では直列等価、$|Z|$ が高い領域では並列等価が安定になりやすく、特に磁性体コアを巻いたコイルは周波数により $|Z|$ が大きく変化するため、モード選択が結果に影響する。

4. 残留成分補正と接続形態の重要性

LCR測定では、治具・リード・端子の寄生成分（残留アドミタンス、残留インピーダンス）が、特に低インピーダンス（直列）と高インピーダンス（並列）領域で無視できなくなる。開放補正（OPEN）と短絡補正（SHORT）を行うことで、治具の残留成分を差し引いた被測定物の $Z$ に近づける操作が可能である。

高周波寄りの測定では、4端子対（4TP）接続やガードの有無が結果に直結し、同軸治具の幾何と戻り電流経路が、見かけのインダクタンスや抵抗を変える。磁性体の透磁率推定は、最終的に $L$ や $R$ の小さな差分に依存するため、補正手順と接続形態を測定条件として明記することが再現性の観点で不可欠である。

5. 閉磁路（リング・トロイド）での透磁率測定

5.1 閉磁路の意味

閉磁路とは、磁束が試料内部をほぼ循環し、外部空間への漏れが相対的に小さい磁気回路形態である。リング（トロイド）試料は代表的な閉磁路であり、試料形状が磁路を自ら閉じるため、反磁界係数が実質的に小さく、内部磁場が印加磁場に近い条件を実現する。

このため、リング試料にコイルを巻いてインダクタンスを測る方法は、材料固有の透磁率に最も近い量を得やすい。測定が小信号である限り、得られる透磁率は「初透磁率」または「増分透磁率」として解釈され、材料開発や熱処理の評価指標として使われる。

5.2 インダクタンス法の導出（実数透磁率）

リングコアに $N$ 巻のコイルを巻き、有効断面積 $A_{\mathrm{e}}$、有効磁路長 $l_{\mathrm{e}}$ を定義する。磁束が均一で漏れが無視できる近似では、

$$L\approx {\mu }_0{\mu }^{\prime }\frac{N^2{A}_{\mathrm{e}}}{l_{\mathrm{e}}}$$

が成り立つ。

同じコイル形状で空芯（${\mu }^{\prime }=1$）のインダクタンスを $L_0$ とすると、

$${\mu }^{\prime }\approx \frac{L}{L_0}$$

と表せる。実際にはリング試料を外して $L_0$ を同一コイルで測ることは困難な場合が多く、その場合は $A_{\mathrm{e}}$ と $l_{\mathrm{e}}$ を寸法から求めて上式に代入するか、既知標準コアで校正して係数を決める。

5.3 複素透磁率の推定

コア損失を複素透磁率で表し、コイルの銅損と分離できると仮定すると、コア由来の等価直列抵抗 $R_{\mathrm{mag}}$ は概ね

$$R_{\mathrm{mag}}\approx \omega {\mu }_0{\mu }^{″}\frac{N^2{A}_{\mathrm{e}}}{l_{\mathrm{e}}}$$

と対応づけられる。したがって

$${\mu }^{″}\approx \frac{R_{\mathrm{mag}}}{\omega L_0}$$

が得られるが、$R_{\mathrm{mag}}$ を得るためには、測定された $R_{\mathrm{s}}$ から周波数依存の巻線抵抗（表皮効果・近接効果）や接触抵抗を差し引く必要がある。

この分離は周波数が上がるほど難しくなるため、${\mu }^{″}$ の推定では、(i) 巻線設計を損失の小さい条件に寄せる、(ii) 同一巻線で空芯または非磁性ダミーを測る、(iii) 既知損失の標準で妥当性を確認する、といった戦略が必要である。特に金属系軟磁性材料では渦電流損が強く周波数依存も大きいため、測定周波数帯ごとにモデルの適用範囲を意識する必要がある。

5.4 コイル設計と自己共振の回避

測定周波数が自己共振周波数（SRF）に近づくと、巻線の分布容量が支配的となり、LCRメータが返す $L$ が不安定になったり、等価的に負のインダクタンスとして表示されたりする。透磁率推定は $L$ に比例するため、SRF近傍のデータを透磁率として解釈すると、周波数分散の議論が破綻する。

SRFを十分高く保つには、巻数を必要最小限にし、層間容量が増えやすい多層巻を避け、可能なら単層巻にするのが有効である。巻線の導体径は直流抵抗低減に寄与する一方で近接効果を増やすため、周波数帯と必要インダクタンスの両方を満たす幾何を選ぶ必要がある。

5.5 標準化手法との関係

リング試料による磁気特性測定は標準化されており、例えば周波数範囲や測定原理（リング法、デジタルサンプリング法など）が規定されている。LCRメータによるインピーダンス測定は、その中でも小信号領域の透磁率評価として位置づけられることが多く、標準の「B-H測定」や「損失測定」とは入力・出力の物理量が異なる。

標準に沿って比較可能性を高めるには、試料寸法、$N$、$A_{\mathrm{e}}$、$l_{\mathrm{e}}$、周波数、励振レベル（電圧・電流・推定 $H$）、等価回路モード（直列/並列）、補正（OPEN/SHORT/LOAD）を測定条件として揃える必要がある。特に励振レベルが異なると増分透磁率が変わり得るため、同一材料のデータでも一致しないことが起こり得る。

6. 開磁路での透磁率測定

6.1 開磁路が難しい理由

開磁路とは、磁束が試料内部で閉じず、空間へ大きく漏れる磁気回路形態である。棒状試料にソレノイド磁場を印加する場合や、板材をコイル近傍に置く場合がこれに相当し、内部磁場は反磁界の影響を強く受ける。

このときLCRメータから得られるインダクタンス変化は、材料固有の ${\mu }_r$ ではなく、反磁界と漏れ磁束を含んだ「見かけの透磁率」または「実効透磁率」として現れる。したがって、開磁路の測定値をそのまま材料データシートの ${\mu }_i$（初透磁率）と同列に扱うと、物理的に意味がずれる。

6.2 反磁界補正と見かけの透磁率

一様磁化を仮定すると、内部磁場は

$$H_{\mathrm{int}}=H_{\mathrm{app}}-N_{\mathrm{d}}M$$

と書ける。ここで $N_{\mathrm{d}}$ は反磁係数、$M$ は磁化、$H_{\mathrm{app}}$ は外部から与えた磁場である。

線形領域で $M=\chi H_{\mathrm{int}}$（$\chi ={\mu }_r-1$）とおけば、

$${\chi }_{\mathrm{app}}=\frac{M}{H_{\mathrm{app}}}=\frac{\chi }{1+N_{\mathrm{d}}\chi }$$

となり、

$${\mu }_{\mathrm{app}}=1+{\chi }_{\mathrm{app}}=\frac{{\mu }_r}{1+N_{\mathrm{d}}({\mu }_r-1)}$$

が得られる。${\mu }_r$ が大きい材料ほど反磁界で抑え込まれ、${\mu }_{\mathrm{app}}$ は概ね $1/N_{\mathrm{d}}$ 程度で頭打ちになるため、開磁路では高透磁率材料同士の差が見えにくくなる。

6.3 ソレノイド挿入法

棒状試料をソレノイド中心に挿入し、挿入前後のインダクタンス差から ${\mu }_{\mathrm{app}}$ を推定する方法がある。この方法は治具が簡単で、試料がリング加工できない場合にも適用できるが、磁場の一様性、端部効果、漏れ磁束の取り込み方がコイル幾何に依存する。

反磁係数補正を行って ${\mu }_r$ を推定する場合、$N_{\mathrm{d}}$ を試料形状から与える必要があるが、棒の端面形状、長さ/径比、磁化の一様性の破れによって有効な $N_{\mathrm{d}}$ は変わり得る。したがって、開磁路で絶対値の ${\mu }_r$ を議論するより、同一治具・同一条件での相対比較（熱処理差、組成差、周波数分散の傾向）に主眼を置く方が解釈が安定する。

6.4 ヨークとギャップを用いた準閉磁路法

板材や棒材を閉磁路に近づけるために、UコアやCコアのヨークで試料を挟み、磁束をヨークに戻す構成が用いられる。これは純粋な開磁路ではなく、磁路にギャップや接触抵抗（磁気的接触の不完全さ）が入った準閉磁路であり、ギャップの磁気抵抗が支配的になると透磁率の推定はギャップ寸法に強く依存する。

LCRメータで見えるのは全磁気抵抗（試料＋ヨーク＋ギャップ）に対応するインダクタンスであるため、ギャップを微小に制御できないと材料差よりギャップ差が支配してしまう。絶対評価を目指す場合は、既知透磁率材料での校正や、有限要素解析による幾何補正が必要となる。

6.5 薄板・薄膜の扱い

薄板を板面法線方向に磁化する配置では、反磁係数が大きく、${\mu }_{\mathrm{app}}$ は 1 に近づきやすい。したがって、薄膜の透磁率をLCRメータで直接得ることは多くの場合難しく、VNAを用いた透磁率抽出（Sパラメータ法）や、共振法、専用プローバ（短絡同軸線路やCPW）など別系統の手法が選ばれる。

一方で、板面内方向に磁場を印加し、磁路をできるだけ閉じる治具を用いると、材料差を拾える場合がある。どの方向の透磁率（縦透磁率、横透磁率）を狙っているかで治具が変わるため、測りたいテンソル成分を先に定義することが必要である。

交替磁性

7. 閉磁路と開磁路の比較

観点	閉磁路（リング・トロイド）	開磁路（棒・板、ソレノイド等）
得られる量の意味	材料固有に近い増分透磁率（小信号）	反磁界と漏れ磁束を含む見かけの透磁率
反磁界の影響	小さい（近似的に無視しやすい）	大きい（補正が必要、補正しても不確かさが残る）
幾何依存	$A_{\mathrm{e}},l_{\mathrm{e}}$ の定義に依存	試料形状・端部・コイル幾何に強く依存
絶対値の信頼性	高い（条件管理で再現性を作りやすい）	低い（相対比較が主用途になりやすい）
周波数拡張	SRFと寄生の制御が鍵	寄生に加えて漏れ磁束の周波数依存も混入しやすい
試料加工	リング加工が必要なことがある	加工自由度が高いが評価の解釈が難しい

閉磁路は、材料の周波数分散や熱処理差を透磁率として比較する上で最も解釈が安定する。開磁路は、試料形状の制約がある状況での代替手段として有効であるが、見かけの量であることを前提に、同一治具での比較に徹する方が結論の頑健性が高い。

8. 測定条件の書き方

透磁率は条件依存が強い量であるため、再現可能性のために測定条件を併記する必要がある。閉磁路・開磁路に共通して、最低限以下を記載すると、異なる研究者間での比較が成立しやすい。

• 試料情報：材料名、熱処理、寸法、密度（粉末圧粉体なら成形条件も含む）
• 磁路情報：閉磁路なら $A_{\mathrm{e}},l_{\mathrm{e}}$、開磁路なら試料形状（長さ/径比など）と配置
• コイル情報：巻数 $N$、線径、巻き方（単層/多層）、巻線抵抗の目安
• 計測情報：計測器種別、測定周波数 $f$、励振レベル（電圧/電流、可能なら推定 $H$）、直流バイアスの有無
• 表示モード：直列等価/並列等価、補正の種類（OPEN/SHORT/LOAD）、接続（2端子/4端子/4端子対）

これらを揃えたうえで、${\mu }^{\prime }(\omega )$ と $\tan \delta (\omega )$、あるいは ${\mu }^{\prime }(\omega )$ と $Q(\omega )$ を併記すると、材料の用途（インダクタ、ノイズフィルタ、損失設計）に応じた読み替えがしやすい。特に増分透磁率を議論する場合は、励振レベルの差が結果を変える可能性があるため、励振レベルの記載は不可欠である。

9. 測定手順例（閉磁路）

閉磁路では、リング・トロイド試料を用意し、コイルを巻くか、単巻治具を用いてインダクタンスを測る。ここではコイル巻線法を例に、LCRメータで ${\mu }^{\prime }$ を求める流れを記す。

1. 幾何の決定
   外径 $d_1$、内径 $d_2$、高さ $h$ を測り、矩形断面近似なら $A_{\mathrm{e}}\approx h(d_1-d_2)/2$、$l_{\mathrm{e}}\approx \pi (d_1+d_2)/2$ を計算する。粉末圧粉体やナノ結晶材では表面粗さや欠けも実効値に影響し得るため、測定に用いた個体の寸法値を記録しておく。

2. 巻線と抵抗の把握
   目標周波数帯で $|Z|$ が計測器の精度良好域に入るように $N$ を選び、可能なら単層巻で実装する。巻線抵抗は周波数で増加し得るため、DC抵抗と測定周波数帯での $R_{\mathrm{s}}$ の差を観察し、損失分離の見通しを立てる。

3. 補正と測定
   治具・リードを含む残留成分を減らすため、計測器が提供する補正（OPEN/SHORTなど）を測定周波数帯で実施する。周波数掃引を行い、$L$ と $R_{\mathrm{s}}$（または $Q$）を取得し、SRF近傍で不自然な挙動が出ていないかを確認する。

4. 透磁率への換算
   直列等価の $L_{\mathrm{s}}$ を用いる場合、

$${\mu }^{\prime }(\omega )\approx \frac{L_{\mathrm{s}}(\omega )l_{\mathrm{e}}}{{\mu }_0{N}^2{A}_{\mathrm{e}}}$$

で換算する。損失の定性的比較には $\tan \delta \approx 1/Q$ を併用し、周波数依存を併記する。

10. 測定手順例（開磁路）

開磁路では、ソレノイドに棒状試料を挿入してインダクタンス変化を測る。ここでは ${\mu }_{\mathrm{app}}$ を得る流れを記し、反磁界補正の位置づけを明確にする。

1. コイル幾何の固定
   同一コイルで挿入前後を測れるようにソレノイドを作り、試料位置を治具で再現固定する。磁場一様性を高めるため、コイル長を試料長より十分長くし、試料をコイル中心に置く設計が望ましい。

2. 差分測定
   空芯の $L_{\mathrm{air}}(\omega )$ と、試料挿入時の $L_{\mathrm{ins}}(\omega )$ を測り、比

$$\frac{L_{\mathrm{ins}}}{L_{\mathrm{air}}}$$

を周波数の関数として得る。差分が小さい場合は、補正の有無やリードの動きで結果が揺れるため、固定と補正を徹底する。

3. 見かけの透磁率の定義
   コイルと試料の結合係数を含めた実効量として

$${\mu }_{\mathrm{app}}(\omega )\propto \frac{L_{\mathrm{ins}}(\omega )}{L_{\mathrm{air}}(\omega )}$$

を採用し、同一治具での相対比較に用いる。絶対値の ${\mu }_r$ を求めたい場合は、反磁界補正のために $N_{\mathrm{d}}$ を与える必要があるが、端部効果を含む有効 $N_{\mathrm{d}}$ の推定が誤差源となることを明記する。

11. まとめと展望

閉磁路（リング・トロイド）のLCR測定は、反磁界と漏れ磁束の影響が小さいため、増分透磁率の周波数依存を材料固有量に近い形で評価できる。一方、開磁路（棒・板）では反磁界が支配的であり、LCRから得られるのは見かけの透磁率であるという前提に立って、同一治具での比較や、準閉磁路化（ヨーク・ギャップ制御）を組み合わせる必要がある。

今後は、(i) 補正と接続の標準化（4端子対・補正手順の明文化）、(ii) 幾何補正の高精度化（有限要素解析と組み合わせた $A_{\mathrm{e}},l_{\mathrm{e}},N_{\mathrm{d}}$ の評価）、(iii) 高周波拡張（SRF回避とVNA法の併用）を進めることで、材料固有の周波数分散と損失機構をより直接に結びつけた透磁率評価が可能になる。

その他参考ソース

• HIOKI, Self-resonant frequency, negative inductance, and interpretation in impedance/L measurement
  https://www.hioki.com/global/learning/usage/impedance_analyzer_6.html

• Keysight, Fixture compensation（短絡補正を含む治具補正の扱い）
  https://www.keysight.com/us/en/assets/9018-04228/helpfiles/e4990a/mergedProjects/Compensation/Fixture_Compensation.htm

• Ripka, P. et al., “Apparent permeability and demagnetization factor”, Journal of Magnetism and Magnetic Materials (2021)
  https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0304885321004380

• Kiss, L. F. et al., Demagnetization factors and geometry dependence（反磁係数の幾何依存の一般論）
  https://link.springer.com/article/10.1007/s42452-024-05786-5

• NI, Four-terminal-pair / compensation（4TP接続と補正の一般論）
  https://www.ni.com/en/support/documentation/supplemental/06/4tp-connections-and-short-open-load-compensation--sol-.html